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Kriyakramakari ( Kriyā-kramakarī ) は、ケーララ学派の天文学と数学に属する天文学者兼数学者であるサンカラ・ヴァリアールとナラヤナによって書かれた、バースカラ 2 世の有名な数学教科書Lilavatiに対するサンスクリット語の詳細な注釈です。[ 1 ] Kriyakramakari (「演算技法」[ 2 ] ) は、ジェーシュタデーヴァのYuktibhasaとともに、ケーララ学派の天文学と数学の創始者であるサンガマグラーマ マダヴァの業績と貢献に関する主要な情報源の 1 つです。[ 3 ]また、この論文に記載されている引用は、以前の時代に活躍した多くの数学者や天文学者の貢献に多くの光を当てています。ケーララ出身の 9 世紀の天文学者ゴヴィンダスヴァミ に帰せられる引用がいくつかあります。 [ 4 ]
『クリヤクラマカリ』の最初の著者であるサンカラ・ヴァリアール（1500年頃 - 1560年）は、ニラカンタ・ソマヤジの弟子であり、職業は寺院の助手であった。彼はケーララ学派の天文学と数学の著名なメンバーであった。彼の著作には、ニラカンタ・ソマヤジの『タントラサングラハ』に対する広範な注釈である『ユクティ・ディピカ』がある。2番目の著者であるナラヤナ（1540年頃 - 1610年）は、プルヴァナグラマ（現在のケーララ州トリシュール県のペルヴァナム）のマヒシャマンガラム家に属するナンプティリ・バラモンであった。
サンカラ・ヴァリアールは『リラヴァティ』の注釈を第199節まで書き上げた。ヴァリアールは1540年頃までにこれを完成させたが、その後他の仕事に追われるようになり、執筆を中断した。彼の死後しばらくして、ナラヤナが『リラヴァティ』の残りの節の注釈を完成させた。
KV SarmaによるKriyakramakariに基づくLilavatiの批判校訂版[ 5 ]によると、Lilavatiの第199節は次のようになっている[ 6 ]（インド文字の転写にはハーバード・京都方式が用いられている）。
これは次のように翻訳できます。
この詩句を起点として、またそれについて解説する形で、サンカラ・ヴァリアールは『クリヤクラカリ』の中で、 πの正確な値を得るためのサンガマグラーマ・マーダヴァの貢献の詳細を詳しく説明した。サンカラ・ヴァリアールは次のように述べている。
サンカラ・ヴァリアールは、円周の値を計算するための幾何学的方法を規定したマダヴァの4つの詩句を引用している。この手法は、正方形から始めて、連続する正多角形の周囲長を計算することを含む。
サンカラ・ヴァリアールは、マダヴァによるπの値を計算するより簡単な方法について説明している。
これらの詩句を現代の数学的表記法に翻訳するために、円周をC 、直径をDとします。すると、Cを求めるマダヴァのより簡単な方法は、 Cについて次の式に簡略化されます。
これは基本的に、π のグレゴリー・ライプニッツ級数として知られる級数です。サンカラ・ヴァリアーはこの級数を述べた後、級数の導出に関する精緻な幾何学的根拠の説明を続けています。[ 3 ]
この理論は『クリヤクラマカリ』でさらに発展させられている。同書では、円の任意の弧を計算するための同様の級数を導出するという問題を取り上げている。これにより、逆正接関数の無限級数展開が得られる。この結果もまた、マダヴァに帰せられている。
上記の式は、半径Rの円の任意の弧θについて正弦と余弦が既知であり、sin θ < cos θであると仮定すると、次の式が成り立つことを示している。