等辺寸法

数学において、距離空間の正次元とは、点同士の距離がすべて等しい空間の部分集合の最大サイズである。^{[1]正次元は「}距離次元」とも呼ばれるが、「距離次元」という用語には他の多くの異なる用法もある。^[1]次元ユークリッド空間の正次元はであり、正単体の頂点によって実現され、チェビシェフ距離(ノルム)を持つ次元ベクトル空間の正次元は であり、超立方体の頂点によって実現される。しかし、マンハッタン距離(ノルム)を持つ空間の正次元はわかっていない。ロバート・B・クスナーにちなんで名付けられたクスナー予想によれば、それはちょうど であり、交差多面体の頂点によって実現される。^[2]${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+1}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle L^{\infty}}$${\displaystyle 2^{d}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle 2d}$

等辺 次元は、ノルムが${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \\|x\|_{p}={\bigl (}|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{d}|^{p}{\bigr )}^{1/p}.}$$

次元の空間の正次元は、 の値に応じて異なる動作をします。 ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$

• の場合、ノルムはマンハッタン距離を生じます。この場合、等距離の点、つまり軸に沿った交差多面体の頂点を見つけることができます。 の場合には、正辺次元はちょうどであることが知られており、^[3]すべての の場合には で上限が決まります。^[4] Robert B. Kusner は 1983 年に、この場合の正辺次元はちょうど であるはずだと示唆しました。^[5]この示唆は ( のときの正辺次元に関する関連する示唆と合わせて) Kusner の予想として知られるようになりました。${\displaystyle p=1}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle d\leq 4}$${\displaystyle O(d\log d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle p>2}$
• の場合、等辺寸法は少なくとも であり、 は に依存する定数である。[ ^6]${\displaystyle 1<p<2}$${\displaystyle (1+\varepsilon )d}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle p}$
• の場合、ノルムはよく知られているユークリッド距離です。次元ユークリッド空間の正次元は、正三角形、正四面体、または高次元の正単体の頂点が正集合を形成し、すべての正集合はこの形を持たなければなりません。^[5]${\displaystyle p=2}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle d+1}$
• の場合、正辺次元は少なくとも です。たとえば、ベクトル空間の基底ベクトルと、 の適切な選択に対して の形の別のベクトルを合わせると、正辺集合が形成されます。Kusner の予想によれば、これらの場合、正辺次元はちょうど になります。Kusner の予想は、 という特殊なケースについて証明されています。^[6]が奇数のとき、正辺次元の上限は です。^[4]${\displaystyle 2<p<\infty }$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (-x,-x,\dots )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle p=4}$${\displaystyle p}$${\displaystyle O(d\log d)}$
• （の有限値に対するノルムの極限ケースで、 が無限大に大きくなる極限では）ノルムはチェビシェフ距離、つまり座標の差の絶対値の最大値になります。チェビシェフ距離を持つ 次元ベクトル空間の場合、正三角形の次元は です。軸に沿った超立方体の頂点は互いに等距離にあり、これより大きな正三角形はあり得ません。^[5]${\displaystyle p=\infty}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 2^{d}}$${\displaystyle 2^{d}}$

等辺次元は、ノルム以外のノルムを持つノルム付きベクトル空間でも考慮されています。与えられたノルムに対して等辺次元を決定する問題は、キス数問題と密接に関連しています。ノルム付き空間におけるキス数は、単位球の互いに素な並進運動がすべて単一の中心球に接触できる最大数ですが、等辺次元は、互いに接触できる互いに素な並進運動の最大数です。 ${\displaystyle L^{p}}$

次元 のノルムベクトル空間では、正辺次元は最大で です。つまり、ノルムはすべてのノルム空間の中で最も高い正辺次元を持ちます。^[7] Petty (1971) は、次元 のすべてのノルムベクトル空間が少なくとも 以上の正辺次元を持つかどうかを尋ねましたが、これはまだ不明です。任意の次元には、特定の 4 つの正辺点の集合がそれ以上の正辺集合に拡張できないノルム空間が存在します^[7]が、これらの空間には、これらの 4 つの点を含まない、より大きな正辺集合が存在する可能性があります。ノルムとノルムがバナッハ・マズール距離で十分に近い場合、Petty の質問に対する答えは肯定的です。つまり、正辺次元は少なくとも です。^[8]${\displaystyle d}$${\displaystyle 2^{d}}$${\displaystyle L^{\infty}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle d+1}$

高次元空間が有界な正次元を持つことは不可能である。任意の整数 に対して、十分に高い次元を持つすべてのノルムベクトル空間は少なくとも の正次元を持つ。^[9]より具体的には、Alon & Milman (1983) によるDvoretzky の定理のバリエーションによれば、すべての - 次元ノルム空間には、 ある定数 に対してユークリッド空間またはチェビシェフ空間に近い - 次元部分空間が 存在する。これはルベーグ空間に近いため、この部分空間、したがって空間全体には少なくとも 個の点の正次元集合が含まれる。したがって、- 次元空間の正次元の下限についても、に対する同じ超対数依存性が成り立つ。^[8]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle k\geq \exp(c{\sqrt {\log d}})}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

任意の - 次元リーマン多様体に対して、正辺次元は少なくとも である。^{[5 ]} - 次元球面に対して、正辺次元は であり、これは球面を埋め込むことができる 1 つ高い次元のユークリッド空間の場合と同じである。 [5]クスナー予想を提起したのと同時に、クスナーは、多様体として次元が制限されているが、正辺次元が任意に高いリーマン計量が存在するかどうかを問うた。^[5]${\displaystyle d}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d+2}$