カプレカル数

数学では、与えられた数の基数における自然数は、その基数でのその平方表現が 2 つの部分に分割でき、2 番目の部分に数字があり、その合計が元の数になる場合、-カプレカール数と呼ばれます。たとえば、基数 10では、45 は 2-カプレカール数です。45² = 2025、20 + 25 = 45 だからです。これらの数はDR カプレカールにちなんで名付けられています。 $p$ $p$

定義と特性

を自然数とします。すると、基数と累乗のカプレカー関数は次のように定義されます。 $n$ $b>1$ $p>0$ $F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$

F_{p,b}(n)=\alpha +\beta

、

どこでそして $\beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}$

\alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}

自然数がに対して不動点である場合、その数は-カプレカール数です。これはの場合に発生します。およびはすべておよびに対して自明なカプレカール数ですが、他のすべてのカプレカール数は非自明なカプレカール数です。 $n$ $p$ $F_{p,b}$ $F_{p,b}(n)=n$ $0$ $1$ $b$ $p$

先ほどの例45は、およびでこの定義を満たしています。 $b=10$ $p=2$

\beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}=45^{2}{\bmod {1}}0^{2}=25

\alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}={\frac {45^{2}-25}{10^{2}}}=20

F_{2,10}(45)=\alpha +\beta =20+25=45

自然数がに対して周期点である場合、その自然数は社交的カプレカール数と呼ばれます。ここで、は正の整数( はの番目の反復)に対してであり、周期のサイクルを形成します。カプレカール数はに対して社交的カプレカール数であり、友好的カプレカール数はに対して社交的カプレカール数です。 $n$ $F_{p,b}$ $F_{p,b}^{k}(n)=n$ $k$ $F_{p,b}^{k}$ $k$ $F_{p,b}$ $k$ $k=1$ $k=2$

固定点に到達するために必要な反復回数は、カプレカー関数のの持続性であり、固定点に到達しない場合は未定義になります。 $i$ $F_{p,b}^{i}(n)$ $n$

与えられた基数に対して、-カプレカー数とサイクルは有限個しか存在しない。なぜなら、の場合、 $p$ $b$ $n=b^{p}+m$ $m>0$

{\begin{aligned}n^{2}&=(b^{p}+m)^{2}\\&=b^{2p}+2mb^{p}+m^{2}\\&=(b^{p}+2m)b^{p}+m^{2}\\\end{aligned}}

そして、、および。カプレカー数とサイクルが存在するのは、このときだけです。 $\beta =m^{2}$ $\alpha =b^{p}+2m$ $F_{p,b}(n)=b^{p}+2m+m^{2}=n+(m^{2}+m)>n$ $n\leq b^{p}$

がの任意の約数である場合、はを底とする -カプレカール数でもあります。 $d$ $p$ $n$ $p$ $b^{p}$

基数では、すべての偶数の完全数はカプレカール数です。より一般的には、自然数の形式またはの数は、基数 2ではカプレカール数です。 $b=2$ $2^{n}(2^{n+1}-1)$ $2^{n}(2^{n+1}+1)$ $n$

集合論的定義とユニタリ因子

与えられた整数の集合は、自然数が存在し、ディオファントス方程式を満たす整数の集合として定義できる^[1] $K(N)$ $N$ $X$ $A$ $B$

X^{2}=AN+B

、どこ

0\leq B<N

X=A+B

基数の -カプレカー数は、集合に含まれる数です。 $n$ $b$ $K(b^{n})$

^{2000 年[1]}に、の単位因数と上で定義された集合の間には全単射があることが示されました。を法とするの逆数、つまりとなる最小の正の整数をで表し、の各単位因数に対しておよびとします。すると、関数はの単位因数の集合から集合への全単射になります。特に、数が集合に含まれるのは、の何らかの単位因数に対してである場合に限ります。 $N-1$ $K(N)$ $\operatorname {Inv} (a,c)$ $a$ $c$ $m$ $am=1{\bmod {c}}$ $d$ $N-1$ $e={\frac {N-1}{d}}$ $\zeta (d)=d\ {\text{Inv}}(d,e)$ $\zeta$ $N-1$ $K(N)$ $X$ $K(N)$ $X=d\ {\text{Inv}}(d,e)$ $d$ $N-1$

の数は補数対で出現し、およびです。がの単位約数であればも単位約数であり、であればです。 $K(N)$ $X$ $N-X$ $d$ $N-1$ $e={\frac {N-1}{d}}$ $X=d\operatorname {Inv} (d,e)$ $N-X=e\operatorname {Inv} (e,d)$

カプレカー番号 $F_{p,b}$

b= 4け+ 3 とp= 2ん+ 1

およびを自然数、基数を、およびとします。このとき、 $k$ $n$ $b=4k+3=2(2k+1)+1$ $p=2n+1$

$X_{1}={\frac {b^{p}-1}{2}}=(2k+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ カプレカール数です。

証拠

させて

${\begin{aligned}X_{1}&={\frac {b^{p}-1}{2}}\\&={\frac {b-1}{2}}\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}\\&={\frac {4k+3-1}{2}}\sum _{i=0}^{2n+1-1}b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\end{aligned}}$

それから、

${\begin{aligned}X_{1}^{2}&=\left({\frac {b^{p}-1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {b^{2p}-2b^{p}+1}{4}}\\&={\frac {b^{p}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n+1}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)(4k+4)-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)\\&={\frac {-(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)(4k+4)+(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{p}-2)-(k+1)b^{2n-1}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}(k+1)b^{i}(b^{p}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {(4k+3)^{1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {-(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-4b^{2n+1}+3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{p-2}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{1}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {-3+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+3(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}-2+3)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)\left(-1+(k+1)\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}b^{2i}-b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}(b-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}((k+1)b-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(4k+3)-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}$

2つの数字と $\alpha$ $\beta$

\beta =X_{1}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

\alpha ={\frac {X_{1}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

そしてそれらの合計は

${\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}&=X_{1}\\\end{aligned}}$

したがって、はカプレカール数です。 $X_{1}$

$X_{2}={\frac {b^{p}+1}{2}}=X_{1}+1$ はすべての自然数に対するカプレカール数です。 $n$

証拠

させて

${\begin{aligned}X_{2}&={\frac {b^{2n+1}+1}{2}}\\&={\frac {b^{2n+1}-1}{2}}+1\\&=X_{1}+1\end{aligned}}$

それから、

${\begin{aligned}X_{2}^{2}&=(X_{1}+1)^{2}\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+b^{p}-1+1\\&=b^{p}\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}$

2つの数字と $\alpha$ $\beta$

\beta =X_{2}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

\alpha ={\frac {X_{2}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}

そしてそれらの合計は

${\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\\&=1+X_{1}\\&=X_{2}\end{aligned}}$

したがって、はカプレカール数です。 $X_{2}$

b=メートル²け+メートル+ 1 とp=分+ 1

、、を自然数、基数を、累乗をとします。すると、次のようになります。 $m$ $k$ $n$ $b=m^{2}k+m+1$ $p=mn+1$

$X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ カプレカール数です。
$X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{1}+1$ カプレカール数です。

b=メートル²け+メートル+ 1 とp=分+メートル− 1

、、を自然数、基数を、累乗をとします。すると、次のようになります。 $m$ $k$ $n$ $b=m^{2}k+m+1$ $p=mn+m-1$

$X_{1}={\frac {m(b^{p}-1)}{4}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ カプレカール数です。
$X_{2}={\frac {mb^{p}+1}{4}}=X_{3}+1$ カプレカール数です。

b=メートル²け+メートル²−メートル+ 1 とp=分+ 1

、、を自然数、基数を、累乗をとします。すると、次のようになります。 $m$ $k$ $n$ $b=m^{2}k+m^{2}-m+1$ $p=mn+m-1$

$X_{1}={\frac {(m-1)(b^{p}-1)}{m}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ カプレカール数です。
$X_{2}={\frac {(m-1)b^{p}+1}{m}}=X_{1}+1$ カプレカール数です。

b=メートル²け+メートル²−メートル+ 1 とp=分+メートル− 1

、、を自然数、基数を、累乗をとします。すると、次のようになります。 $m$ $k$ $n$ $b=m^{2}k+m^{2}-m+1$ $p=mn+m-1$

$X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ カプレカール数です。
$X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{3}+1$ カプレカール数です。

カプレカー数と周期 $F_{p,b}$ 特定の $p$ 、 $b$

すべての数値はを基数とします。 $b$

負の整数への拡張

カプレカー数は、各整数を表すために符号付き数字表現を使用することで、負の整数に拡張できます。

参照

注記

^ イアンヌッチ (2000)

参考文献

DR カプレカー (1980–1981)。「カプレカー数について」。レクリエーション数学ジャーナル。13 : 81–82。
M. Charosh (1981–1982)。「999... のキャストアウトのいくつかの応用」。レクリエーション数学ジャーナル。14 : 111–118。
Iannucci, Douglas E. (2000). 「The Kaprekar Numbers」. Journal of Integer Sequences . 3 : 00.1.2.書誌コード:2000JIntS...3...12I.

[iannucci-1] イアンヌッチ (2000)

定義と特性

集合論的定義とユニタリ因子

カプレカー番号 F p , b {\displaystyle F_{p,b}}

b= 4け+ 3 とp= 2ん+ 1

b=メートル2け+メートル+ 1 とp=分+ 1

b=メートル2け+メートル+ 1 とp=分+メートル− 1

b=メートル2け+メートル2−メートル+ 1 とp=分+ 1

b=メートル2け+メートル2−メートル+ 1 とp=分+メートル− 1

カプレカー数と周期 F p , b {\displaystyle F_{p,b}} 特定の p {\displaystyle p} 、 b {\displaystyle b}