デュードニー数

数論において、与えられた基数におけるデュードニー数は、ある自然数の完全立方と等しく、最初の自然数の桁の合計が2番目の自然数の桁の合計に等しい自然数である。この名前はヘンリー・デュードニーに由来する。彼は自身のパズルの1つである根号抽出でこれらの数の存在に気づき、コルニー・ハッチの退職教授がこれを根号抽出の一般的な方法として仮定した。 ${\displaystyle b}$

を自然数とします。底と累乗に対するDudeney 関数を次のように定義します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {n^{p}{\bmod {b^{i+1}}}- n^{p}{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

ここで、 はを 基数 の数値の桁数に掛けたものです。 ${\displaystyle k=p\left(\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1\right)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$

自然数がに対して不動点である場合、その自然数はデュードニー根と呼ばれます。これは の場合に発生します。自然数は一般化されたデュードニー数であり、^[1]、 に対して、数はデュードニー数として知られています。および はすべてのおよびに対して自明なデュードニー数ですが、他のすべての自明なデュードニー数は非自明なデュードニー数です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{p,b}}$${\displaystyle F_{p,b}(n)=n}$${\displaystyle m=n^{p}}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$

およびについては、そのような整数はちょうど 6 個存在します ( OEISのシーケンスA061209 )。${\displaystyle p=3}$${\displaystyle b=10}$${\displaystyle 1,512,4913,5832,17576,19683}$

自然数がに対して周期点である場合、その自然数は社交的デュードニー根と呼ばれます。ここで、は正の整数 に対して、周期 のサイクルを形成します。デュードニー根は を満たす社交的デュードニー根であり、友好的デュードニー根はを満たす社交的デュードニー根です。社交的デュードニー数と友好的デュードニー数は、それぞれの根のべき乗です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{p,b}}$${\displaystyle F_{p,b}^{k}(n)=n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=2}$

固定点に到達するために必要な反復回数はDudeney 関数の持続性であり、固定点に到達しない場合は未定義になります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle F_{p,b}^{i}(n)}$${\displaystyle n}$

基数とべき乗が与えられた場合、最大デュードニー根は次の境​​界を満たす必要があることが示されます。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle n\leq (b-1)(1+p+\log _{b}{n^{p}})=(b-1)(1+p+p\log _{b}{n}))}$

これは、各位と基数に対して有限個のデュドニー根とデュドニー数が存在することを意味する。^[2]${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle F_{1,b}}$は数字の和です。デュードニー数は を底とする 1 桁の数だけであり、素周期が 1 より大きい周期点は存在しません。 ${\displaystyle b}$

すべての数値は 基数で表されます。 ${\displaystyle b}$

Dudeney 数は、各整数を表すために符号付き数字表現を使用することで、負の整数に拡張できます。

以下の例では、上記の定義で説明した Dudeney 関数を実装して、PythonでDudeney 根、数、循環を検索します。

def  dudeneyf ( x :  int ,  p :  int ,  b :  int )  ->  int : 
"""Dudeney 関数。""" y = pow ( x , p ) total = 0 while y > 0 : total = total + y % b y = y // b return total    
       
      
       
              
            
     

def  dudeneyf_cycle ( x :  int ,  p :  int ,  b :  int )  - >  List : 
    seen  =  [ 
    ] while  x  not  in  seen : 
        seen.append ( x ) x = dudeneyf ( x , p , b ) cycle = [ ] while x not in cycle : cycle.append ( x ) x = dudeneyf ( x , p , b ) return cycle​
            
      
        
        
            
     

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• HE Dudeney、「536 Puzzles & Curious Problems」、Souvenir Press、ロンドン、1968年、36ページ、#120。

• 一般化デュードニー数
• デュードニー数は6つしかないことを証明する 2013-10-20にWayback Machineにアーカイブされました