ハッピーナンバー

数論では、幸せな数とは、各桁の二乗の和で置き換えたときに最終的に 1 に達する数です。たとえば、、 であるため、13 は幸せな数です。一方、、で始まる数列は最終的に数列を開始した数 に達し、したがってプロセスは 1 に達することなく無限に循環し続けるため、4 は幸せな数ではありません。幸せではない数は、悲しい数または不幸な数と呼ばれます。 ${\displaystyle 1^{2}+3^{2}=10}$${\displaystyle 1^{2}+0^{2}=1}$${\displaystyle 4^{2}=16}$${\displaystyle 1^{2}+6^{2}=37}$${\displaystyle 2^{2}+0^{2}=4}$

より一般的には、-ハッピー数とは、与えられた基数において、完全デジタル不変関数を反復処理したときに最終的に1に到達する自然数である。^[1]${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle p=2}$

ハッピーナンバーの起源は明らかではありません。ハッピーナンバーは、学校で学んだ娘によって Reg Allenby (イギリスの作家であり、リーズ大学の純粋数学の上級講師) に知らされました。しかし、ハッピーナンバーは「ロシアで生まれた可能性がある」 (Guy 2004:§E34)。

正式には、自然数を仮定する。完全デジタル不変関数${\displaystyle n}$

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{\lfloor \log _{b}{n}\rfloor }{\left({\frac {n{\bmod { b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}\right)}^{p}}$。

基数 に対して、 （は の- 番目の反復を表す）となるが存在する場合、数は-幸せであり、そうでない場合は -不幸です。数が の非自明な完全デジタル不変量である場合、それは-不幸です。 ${\displaystyle b>1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle j}$${\displaystyle F_{2,b}^{j}(n)=1}$${\displaystyle F_{2,b}^{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle F_{2,b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle F_{2,b}}$${\displaystyle b}$

例えば、19は10ハッピーです。

${\displaystyle F_{2,10}(19)=1^{2}+9^{2}=82}$

${\displaystyle F_{2,10}^{2}(19)=F_{2,10}(82)=8^{2}+2^{2}=68}$

${\displaystyle F_{2,10}^{3}(19)=F_{2,10}(68)=6^{2}+8^{2}=100}$

${\displaystyle F_{2,10}^{4}(19)=F_{2,10}(100)=1^{2}+0^{2}+0^{2}=1}$

例えば、347は6ハッピーです。

${\displaystyle F_{2,6}(347)=F_{2,6}(1335_{6})=1^{2}+3^{2}+3^{2}+5^{2}=44}$

${\displaystyle F_{2,6}^{2}(347)=F_{2,6}(44)=F_{2,6}(112_{6})=1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

${\displaystyle F_{2,6}^{3}(347)=F_{2,6}(6)=F_{2,6}(10_{6})=1^{2}+0^{2}=1}$

1 は - 幸せな数であり、すべての に対して、(を底とする) は、その和が 1 であるため - 幸せな数であるように、 - 幸せな数は無限に存在します。ゼロは交差和に寄与しないため、任意のゼロを削除または挿入することによって数の幸福が維持されます。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

最初の百万個ほどの 10 が幸せな数を調べると、それらの自然密度は約 0.15 であることがわかります。驚くべきことに、10 が幸せな数には漸近密度がありません。幸せな数の上限密度は 0.18577 より大きく、下限密度は 0.1138 より小さくなります。^[2]

ハッピー基数とは、すべての数がマイナスハッピーとなる基数です。マイナスハッピーな整数基数は、${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$5 × 10 ⁸は2進数と4進数である。^[3]

の場合、 の唯一の正の完全デジタル不変量は自明な完全デジタル不変量 1 であり、他のサイクルは存在しません。 のすべての数はに対して前周期点であるため、すべての数は 1 につながり、ハッピーです。結果として、基数 4はハッピー基数です。 ${\displaystyle b=4}$${\displaystyle F_{2,b}}$${\displaystyle F_{2,b}}$

の場合、 に対する唯一の正の完全デジタル不変量は自明な完全デジタル不変量1であり、唯一のサイクルは8数サイクルである。 ${\displaystyle b=6}$${\displaystyle F_{2,b}}$

5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 → ...

そして、すべての数は の周期前点であるため、すべての数は 1 に至って幸せであるか、またはサイクルに至って不幸であるかのどちらかです。基数 6 には 1 以外の完全なデジタル不変量がないため、1 以外の正の整数は、その数字の二乗の合計にはなりません。 ${\displaystyle F_{2,b}}$

^{10 進法では、1296 = 6 4}までの 74 個の 6 がつく数は、次のようになります (10 進法で表記)。

1、6、36、44、49、79、100、160、170、216、224、229、254、264、275、285、289、294、335、347、355、357、388、405、415、 417、439、460、469、474、533、538、580、593、600、608、628、638、647、695、707、715、717、767、777、787、835、837、 847、880、 890、928、940、953、960、968、1010、1018、1020、1033、1058、1125、1135、1137、1168、1178、1187、1195、1197、1207、 1238、1277、1292、1295

の場合、 に対する唯一の正の完全デジタル不変量は自明な完全デジタル不変量1であり、唯一のサイクルは8数サイクルである。 ${\displaystyle b=10}$${\displaystyle F_{2,b}}$

4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...

そして、すべての数は の周期前点であるため、すべての数は 1 に至って幸せであるか、またはサイクルに至って不幸であるかのどちらかです。基数 10 には 1 以外の完全なデジタル不変量がないため、1 以外の正の整数は、その数字の二乗の合計ではありません。 ${\displaystyle F_{2,b}}$

10 進法では、1000 までの 10 が付く数 143 個は次のとおりです。

1、7、10、13、19、23、28、31、32、44、49、68、70、79、82、86、91、94、97、100、103、109、129、130、133、 139、167、 176、188、190、192、193、203、208、219、226、230、236、239、262、263、280、291、293​​、301、302、310、313、319、320、 326、329、 331、338、356、362、365、367、368、376、379、383、386、391、392、397、404、409、440、446、464、469、478、487、490、 496、536、556、563、565、566、608、617、622、623、632、635、637、638、644、649、653、655、656、665、671、673、680、 683、694、700、 709、716、736、739、748、761、763、784、790、793、802、806、818、820、833、836、847、860、863、874、881、888、899、901、904、 907、910、912、913、921、923、931、932、937、940、946、964、970、973、989、998、1000（OEISの配列A007770）。

1000 未満の 10 がつく数字を形成する数字の明確な組み合わせは次のとおりです (残りは単なる数字の並べ替えやゼロの挿入です)。

1、7、13、19、23、28、44、49、68、79、129、133、139、167、188、226、236、239、338、356、367、368、379、446、469、478、556、566、888、899。（OEISの配列A124095 ）。

連続する10のつく数字の最初のペアは31と32です。^[4]連続する3つの数字の最初のセットは1880、1881、1882です。 ^[5]任意の自然数の長さの連続する幸せな数字の列が存在することが証明されています。^[6] n  = 1、2、3、...の場合、少なくともn個の連続する10のつく数字の最初のランの始まりは^[7]です。

1、31、1880、7839、44488、7899999999999959999999996、7899999999999959999999996、...

ロバート・スタイアーは、この数列を計算した論文の中で次のように述べています。「驚くべきことに、6つの連続する幸せな数字の最小の列を開始するNの同じ値が、7つの連続する幸せな数字の最小の列も開始します。」^[8]

1≤n≤20に対して ¹⁰ⁿまでの10ハッピー数の数は^[9] である。

3、20、143、1442、14377、143071、1418854、14255667、145674808、1492609148、15091199357、149121303586、1443278000870、 13770853279685、130660965862333、1245219117260664、12024696404768025、118226055080025491、1183229962059381238、 12005034444292997294。

-happy素数とは、 -happyかつ素数である数です。happy 数とは異なり、-happy 素数の数字を並べ替えても、必ずしも別の happy 素数が作成されるわけではありません。たとえば、19 は 10-happy 素数ですが、91 = 13 × 7 は素数ではありません (ただし、10-happy です)。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

すべての素数は 2 ハッピー素数と 4 ハッピー素数です。これは、基数 2と基数 4がハッピー基数である ためです。

6を基数とする1296 = 6 ⁴以下の6ハッピー素数は

211、1021、1335、2011、2425、2555、3351、4225、4441、5255、5525

10進数では、500以下の10ハッピー素数は

7、13、19、23、31、79、97、103、109、139、167、193、239、263、293、313、331、367、379、383、397、409、487（OEISの配列A035497 ）。

回文 素数10 ¹⁵⁰⁰⁰⁶ +7 426 247 × 10 ^{75 000} + 1は10ハッピー素数であり、150 007桁である理由は、多くの0は2乗の数字の合計に寄与しないためであり、1 ² + 7 ² + 4 ² + 2 ² + 6 ² + 2 ² + 4 ² + 7 ² + 1 ² = 176であり、これは10がつく数である。ポール・ジョブリングは2005年にこの素数を発見した。^[10]

2010年現在^[update]、10を満たす最大の素数は2 ^42643801  − 1（メルセンヌ素数）である。^{[疑わしい–議論する]}その10進展開は12 837 064桁。^[11]

12進数では、10000未満の12を満たす素数は存在しません。最初の12を満たす素数は次のとおりです（文字XとEはそれぞれ10進数の10と11を表します）。

11031、1233E、13011、1332E、16377、17367、17637、22E8E、2331E、233E1、23955、25935、25X8E、28X5E、28XE5、2X8E5、 2E82E、2E8X5、31011、31101、3123E、3132E、31677、33E21、35295、35567、35765、35925、36557、37167、37671、39525、 4878E、4X7X7、 53567、55367、55637、56357、57635、58XX5、5X82E、5XX85、606EE、63575、63771、66E0E、67317、67371、67535、6E60E、71367、71637、73167、76137、7XX47、82XE5、82EX5、8487E、848E7、 84E87、8874E、8X1X7、8X25E、8X2E5、8X5X5、8XX17、8XX71、8E2X5、8E847、92355、 93255、93525、95235、X1X87、X258E、X285E、X2E85、X85X5、X8X17、XX477、XX585、E228E、E606E、E822E、EX825、...

以下の例では、 の完全デジタル不変関数と、この記事の冒頭で示した happy の定義で説明されているデフォルトの基数を繰り返し実装します。そのたびに、1 に達することと、数値が繰り返されることの両方の停止条件をチェックします。 ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle b=10}$

数値が適切かどうかを確認する Pythonでの簡単なテスト:

def  pdi_function ( number ,  base :  int  =  10 ): 
"""完全デジタル不変関数。""" total = 0 while number > 0 : total += pow ( number % base , 2 ) number = number // base return total    
      
       
             
            
     

def  is_happy ( number :  int )  ->  bool : 
"""指定された番号がハッピーナンバーかどうかを判断します。""" seen_numbers = set () while number > 1 and number not in seen_numbers : seen_numbers . add ( number ) number = pdi_function ( number ) return number == 1    
      
            
        
          
       

• 2007年、ハッピーナンバーの概念は『レイトン教授と悪魔の箱』のパズル149（「ナンバーサイクル」）で使用され、4から始まり8項ごとに繰り返される数列が使用されました。

• 算術ダイナミクス
• 幸運な数字
• ハーシャド数
• ラッキーナンバー
• 完全なデジタル不変量

• ガイ、リチャード(2004)。数論における未解決問題(第 3 版) 。Springer - Verlag。ISBN 0-387-20860-7。

• シュナイダー、ウォルター：マシューズ：ハッピーナンバーズ。
• Weisstein、Eric W.「Happy Number」。MathWorld。
• 数字が幸せかどうかを計算する 2019年1月25日アーカイブ - Wayback Machine
• 数学フォーラムのハッピーナンバー。
• Numberphile の 145 と Melancoil。
• シモンズ、リア。「7と幸せな数字」。Numberphile。ブレイディ・ハラン。2018年1月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月2日閲覧。