メルテンス数

数論と数理論理学において、メルテンス数は、与えられた基数 において、それ自体がゲーデル数である自然数である。アムステルダムのCWI在籍25周年記念の贈り物としてリチャード・S・バードがランバート・メルテンスにちなんで名付けた。^[1]${\displaystyle b}$

を自然数とします。基数に対するMeertens 関数を次のように定義します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}p_{ki-1}^{d_{i}}.}$

ここで、 は を底とする数の桁数、は-素数、そして ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

は、数の各桁の値です。自然数がの不動点である場合、その数はメルテンス数です。これは、 の場合に発生します。これは、ゲーデル符号化に対応します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

例えば、基数3020はメルテンス数です。 ${\displaystyle b=4}$

${\displaystyle 3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}}$。

自然数が（正の整数 ）の周期点である場合、その自然数は社交的メールテンス数と呼ばれます。メールテンス数は の社交的メールテンス数であり、友好的メールテンス数は の社交的メールテンス数です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}^{k}(n)=n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=2}$

固定点に到達するために必要な反復回数は、Meertens 関数の の持続性であり、固定点に到達しない場合は未定義になります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$${\displaystyle n}$

すべての数値は を基数とします。 ${\displaystyle b}$

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• OEISシーケンスA189398（a(n) = 2^d(1) * 3^d(2) * ... * prime(k)^d(k)）
• OEISシーケンス A246532 (n 進数の最小の Meertens 数、存在しない場合は -1)