数字の持続性

数学において、数の持続性とは、ある整数に対して与えられた演算を何回適用したら、その演算によって数が変化しなくなる 固定点に達するかの回数のことです。

通常、これは負でない整数の加法または乗法の持続性、つまり 1 つの桁に達するまでその桁の和または積でその数を置き換える頻度に関係します。数値は桁に分解されるため、加法または乗法の持続性は基数に依存します。この記事の残りの部分では、基数は 10 であると想定します。

整数の加法持続性を計算する過程で到達する 1 桁の最終状態が、その数値のデジタル根です。言い換えると、数値の加法持続性は、数値の根に到達するまでにその桁を何回加算しなければならないかを数えます。

2718 の加法持続性は 2 です。まず、2 + 7 + 1 + 8 = 18 であることがわかり、次に 1 + 8 = 9 であることがわかります。39 の乗法持続性は 3 です。39 を 1 桁にするには、39 → 27 → 14 → 4 と 3 つの手順が必要なためです。また、39 は乗法持続性が 3 である最小の数字です。

10進法では、11より大きい乗法持続性を持つ数は存在しないと考えられており、これは2.67×10 ³⁰⁰⁰⁰までの数に当てはまることが知られています。^{[1] [2]}持続性が0、1、2、...である最小の数は次のとおりです。

0、10、25、39、77、679、6788、68889、2677889、26888999、3778888999、277777788888899。（OEISのシーケンスA003001）

これらの数字の検索は、記録破りの数字の 10 進数の桁の追加特性を使用することで高速化できます。これらの桁は昇順でなければなりません (2 番目の数字 10 を除く)。また、最初の 2 桁を除くすべての桁は 7、8、または 9 でなければなりません。最初の 2 桁には追加の制限もあります。これらの制限に基づくと、記録破りの持続性を持つn桁の数字の候補の数はnの2 乗に比例するだけであり、これはすべての可能なn桁の数字のごく一部です。ただし、上記のシーケンスにない数字は乗法的持続性が 11 を超えるため、そのような数字は存在しないと考えられており、存在する場合は 30,000 桁以上である必要があります。^[1]

• 数値の加法的な持続性はその数値自体より小さいか等しく、数値がゼロの場合にのみ等しくなります。
• 基数と自然数、および数とは同じ加法的な持続性を持ちます。${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle n>9}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\cdot b^{k}}$

数値の加法的な持続性の詳細については、ここを参照してください。

ただし、数の加法的な持続性は任意に大きくなる可能性があります (証明: 与えられた数 に対して、数字 1 の繰り返しからなる数の持続性は の持続性よりも 1 高くなります)。加法的な持続性が最小の数は 0、1、2、... です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

0、10、19、199、1999999999999999999999、...（OEISのシーケンスA006050）

数列の次の数（加法持続性 5 の最小数）は、2 × 10 ^{2×(10 22  − 1)/9}  − 1 です（つまり、1 の後に 222222222222222222222222 個の 9 が続きます）。任意の固定された底について、数の桁の合計は最大でその対数に比例します。したがって、加法持続性は最大で反復対数に比例し、与えられた加法持続性の最小数はテトレーション 的に増加します。

一部の関数では、一定程度までの永続性しか許可されません。

たとえば、最小の桁を取る関数では、1 桁の数字から開始するか、1 桁の数字に進むため、0 または 1 の持続のみが許可されます。

• ガイ、リチャード K. (2004)。数論における未解決問題(第 3 版)。Springer -Verlag。pp . 398–399。ISBN 978-0-387-20860-2.ZBL1058.11001  。​
• Meimaris, Antonios (2015). p を底とする数の加法的持続性について。プレプリント。