暗黙の表面

数学において、暗黙の曲面はユークリッド空間内の方程式によって定義される 曲面である。

${\displaystyle F(x,y,z)=0.}$

暗黙的な曲面は、3 つの変数の関数のゼロの集合です。暗黙的とは、方程式がx、y、zについて解けないことを意味します。

関数のグラフは通常、方程式で記述され、明示的表現と呼ばれます。表面の 3 番目の基本的な記述はパラメトリック表現です。 ここで、表面の点のx、y、z座標は、共通のパラメータ に依存する3 つの関数で表されます。一般に、明示的表現が与えられている場合にのみ、表現の変更は簡単です。(暗黙的)、(パラメトリック)。 ${\displaystyle z=f(x,y)}$${\displaystyle (x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$${\displaystyle x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)}$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle z=f(x,y)}$${\displaystyle zf(x,y)=0}$${\displaystyle (s,t,f(s,t))}$

例:

1. 飛行機​ ${\displaystyle x+2y-3z+1=0.}$
2. 球体​ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.}$
3. トーラス​ ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.}$
4. 種数2の表面: (図を参照)。${\displaystyle 2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2 }-1)(1-z^{2})=0}$
5. 回転面（ワイングラスの 図を参照）。${\displaystyle x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0}$

平面、球、トーラスには単純なパラメトリック表現が存在します。これは 4 番目の例では当てはまりません。

暗黙関数定理は、 x 、 y 、またはzについて方程式を（少なくとも暗黙的に）解くことができる条件を説明します。しかし、一般に、解は明示的に示されない場合があります。この定理は、表面の重要な幾何学的特徴（接平面、表面法線、曲率（以下を参照））を計算するための鍵となります。しかし、これらには重要な欠点があります。それは、視覚化が難しいことです。 ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

がx、y、zに関して多項式である場合、その曲面は代数的であると呼ばれます。例 5 は非代数的です。 ${\displaystyle F(x,y,z)}$

視覚化が難しいにもかかわらず、暗黙的曲面は理論的に（例えば、シュタイナー曲面）そして実際的に（以下を参照）興味深い曲面を生成するための比較的単純な手法を提供します。

以下の考察全体を通して、暗黙的な曲面は、 関数が微分可能性の必要条件を満たす方程式によって表されます。の 偏導関数は です。 ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots }$

面点が正則であるとは、の勾配が零ベクトルでないときのみである。つまり、 ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z} (x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}$。

表面の点が正規でない場合は、特異点と呼ばれます。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

正則点における接平面の方程式は ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0 })(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,}$

そして法線ベクトルは

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y }(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.}$

式をシンプルにするために引数は省略します。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}}$

は、単位接線方向における正規の点の表面の法線曲率です。は、(2次導関数の行列) のヘッセ行列です。${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle H_{F}}$${\displaystyle F}$

この公式の証明は（暗黙の曲線の場合と同様に）暗黙の関数定理とパラメトリック曲面の法線曲率の公式に依存します。

暗黙の曲線の場合と同様に、単純なプリミティブに代数演算 (加算、乗算) を適用することで、目的の形状を持つ暗黙のサーフェスを生成するのは簡単な作業です。

点電荷の電位は 点に電位 を生成する（物理定数は省略）${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$${\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}$

${\displaystyle F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.}$

ポテンシャル値の等ポテンシャル面は、点を中心とする球面である暗黙の面です 。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle F_{i}(x,y,z)-c=0}$${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$

点電荷 の電位は次のように表される。${\displaystyle 4}$

${\displaystyle F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.}$

図では、4 つの電荷は 1 に等しく、点 にあります 。表示されている表面は等電位面 (暗黙の表面) です。 ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$${\displaystyle F(x,y,z)-2.8=0}$

カシニ楕円は、2 つの特定の点までの距離の積が一定である点集合として定義できます (対照的に、楕円の場合は合計が一定です)。同様に、暗黙的な表面は、いくつかの固定点までの一定の距離積によって定義できます。

図のメタモルフォーゼでは、左上の面は次の規則によって生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}}$

一定距離積面が 表示されます。 ${\displaystyle F(x,y,z)-1.1=0}$

新しい暗黙的表面を生成するさらに簡単な方法は、暗黙的表面の 変形と呼ばれます。

2つの暗黙的な表面（図では定距離積表面とトーラス）に対して、設計パラメータを使用して新しい表面を定義します。 ${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0}$${\displaystyle \mu \in [0,1]}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0}$

図では、設計パラメータは連続して です。 ${\displaystyle \mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1}$

${\displaystyle \Pi }$-曲面^[1]は、補助多項式の積として単一の多項式で定義される表面を持つ任意の滑らかで有界な物体を近似するために使用できます。言い換えると、単一の代数曲面を持つ任意の滑らかな物体を設計できます。定義多項式を と表記します。すると、近似オブジェクトは多項式で定義されます。 ${\displaystyle R^{3}}$${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r}$^[1]

ここで、は近似誤差を制御するブレンディングパラメータを表します。 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

暗黙の曲線による滑らかな近似と同様に、方程式

${\displaystyle F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0}$

適切なパラメータに対して、 3つの交差するトーラスの滑らかな近似を方程式で 表す。${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}}$

（図中のパラメータは） ${\displaystyle R=1,\,a=0.2,\,r=0.01.}$

暗黙的な曲面をレンダリングするためのアルゴリズムは様々あり、^[2]その中にはマーチングキューブアルゴリズムがあります。^[3]基本的に、暗黙的な曲面を視覚化するアイデアは 2 つあります。1 つは、視覚化されるポリゴンのネットを生成するもの (曲面の三角形分割を参照)、もう 1 つは、光線と曲面の交点を決定するレイトレーシングを利用するものです。 ^[4]交点は、符号付き距離関数を使用して曲面までの距離を求める球面トレーシングによって近似できます。 ^[5]

• 暗黙の曲線

• Gomes, A.、Voiculescu, I.、Jorge, J.、Wyvill, B.、Galbraith, C.:暗黙の曲線と曲面: 数学、データ構造、アルゴリズム、2009 年、Springer-Verlag London、ISBN 978-1-84882-405-8 
• ソープ：微分幾何学の基礎トピック、Springer-Verlag、ニューヨーク、1979年、ISBN 0-387-90357-7