ハウソンプロパティ

数学の分野である群論において、有限生成交差特性 (FGIP)としても知られるハウソン特性は、ある群の任意の 2 つの有限生成部分群の交差は、やはり有限生成であるという群の特性である。この特性は、1954 年の論文で自由群がこの特性を持つことを証明したアルバート・G・ハウソンにちなんで名付けられた。 ^[1]

群が ハウソン性質を持つとは、 の任意の有限生成部分群に対して、それらの共通部分が再び の有限生成部分群となるときである。^[2]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H\cap K}$${\displaystyle G}$

• すべての有限群はハウソン特性を持ちます。
• 群はハウソン特性を持たない。具体的には、が の因数の生成元である場合、およびに対してが成り立つ。したがって、は有限生成ではない。^[3]${\displaystyle G=F(a,b)\times \mathbb {Z} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H=F(a,b)}$${\displaystyle K=\langle a,tb\rangle \leq G}$${\displaystyle H\cap K=\operatorname {ncl} _{F(a,b)}(a)}$${\displaystyle H\cap K}$
• がコンパクト面である場合、の基本群はハウソン特性を持つ。^[4]${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \pi _{1}(\Sigma )}$${\displaystyle \Sigma }$
• 自由-無限巡回群（ ） は、ハウソン性質を持たない。^[5]${\displaystyle F_{n}\rtimes \mathbb {Z} }$${\displaystyle n\geq 2}$
• 3次元多様体に対する仮想ハーケン予想と仮想ファイバー予想の最近の証明を考慮すると、以前に確立された結果は、 Mが閉じた双曲型3次元多様体である場合、ハウソン特性を持たないことを示唆している。^[6]${\displaystyle \pi_{1}(M)}$
• 3次元多様体群の中には、ハウソン性質を持つものと持たないものが多数存在する。ハウソン性質を持つ3次元多様体群には、無限体積の双曲3次元多様体の基本群、ソル幾何学とニル幾何学に基づく3次元多様体群、いくつかの連結和とJSJ分解構成によって得られる3次元多様体群などがある。^[6]
• 任意のバウムスラッグ-ソリター群はハウソン性質を持つ。^[3]${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle BS(1,n)=\langle a,t\mid t^{-1}at=a^{n}\rangle }$
• G が、すべての有限生成部分群がノイザンである群である場合、Gはハウソン特性を持ちます。特に、すべてのアーベル群とすべての冪零群はハウソン特性を持ちます。
• すべての多環式有限群はハウソン性質を持つ。^[7]
• がハウソン性質を持つ群であれば、その自由積もハウソン性質を持つ。^[8]より一般的には、ハウソン性質は、融合自由積を取ったり、有限部分群上のハウソン性質を持つ群のHNN拡張を行ったりしても保存される。^[9]${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A\ast B}$
• 一般に、ハウソン特性は無限部分群上の併合積とHNN拡張にかなり敏感である。特に、自由群と無限巡回群の場合、併合自由積がハウソン特性を持つのは、がと の両方において最大巡回部分群である場合のみである。^[10]${\displaystyle F,F'}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F\ast_{C}F'}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F'}$
• 直角アルティン群は、 その連結成分が完全グラフである場合にのみハウソン特性を持つ。 ^[11]${\displaystyle A(\Gamma )}$${\displaystyle \ガンマ}$
• 極限群はハウソン特性を持つ。^[12]
• ハウソン特性があるかどうかは不明である。 ^[13]${\displaystyle SL(3,\mathbb {Z} )}$
• 群はと同型な部分群を含み、ハウソン性質を持たない。^[13]${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle F(a,b)\times F(a,b)}$
• 多くの小さな相殺群とコクセター群は、その表現において「周縁縮小」条件を満たし、局所的に準凸な語双曲群であり、したがってハウソン特性を持つ。^{[14] [15]}
• 1関係子群は局所準凸語双曲群でもあるため、ハウソン性質を持つ。^[16]${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots ,x_{k}\mid r^{n}=1\rangle }$${\displaystyle n\geq |r|}$
• 中間成長のグリゴルチュク群 Gはハウソン特性を持たない。^[17]
• ハウソン特性は一階特性ではない。つまり、ハウソン特性は一階群言語式の集合によって特徴付けることはできない。^[18]
• 自由pro-p群は、 ハウソン性質の位相的バージョンを満たす。すなわち、が位相的に有限生成の閉部分群である場合、それらの交差は位相的に有限生成である。^[19]${\displaystyle F}$${\displaystyle H,K}$${\displaystyle F}$${\displaystyle H\cap K}$
• 任意の固定整数に対して、「一般的な」-生成子-関係子群は、任意の-生成部分群に対してそれらの交差が再び有限生成であるという性質を持つ。^[20]${\displaystyle m\geq 2,n\geq 1,d\geq 1,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots x_{m}|r_{1},\dots ,r_{n}\rangle }$${\displaystyle d}$${\displaystyle H,K\leq G}$${\displaystyle H\cap K}$
• リース積には ハウソン特性はない。^[21]${\displaystyle \mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z} }$
• トンプソン群は ハウソン特性を持たない。なぜなら、それはを含むからである。^[22]${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z} }$

• ハンナ・ノイマン予想