ヘリーの選択定理

数学において、ヘリーの選択定理（ヘリーの選択原理とも呼ばれる）は、一様有界な単調実関数の列には収束する 部分列が存在することを述べています。言い換えれば、一様有界な単調関数の空間に対する逐次コンパクト性定理です。オーストリアの 数学者 エドゥアルト・ヘリーにちなんで名付けられました。この定理のより一般的なバージョンは、一点で 一様有界な局所的に有界な全変量の関数の空間 BV _{locがコンパクトであることを主張しています。}

この定理は数学的解析全般に応用され、確率論においては、この結果は測度の密な族がコンパクトであることを意味する。

( f _n ) _{n  ∈  N を}実区間Iを実直線Rに写像する増加関数の列とし、それが一様に有界であると仮定します。つまり、任意のn  ∈  Nに対してa  ≤  f _n  ≤  bとなるようなa,b  ∈  R が存在します。すると、列 ( f _n ) _{n  ∈  N は}点ごとに収束する部分列を許容します。

、すなわち不連続点の集合とすると、fは増加するので、 Aの任意のx はを満たします。ここで、、したがって不連続点により、 です。有理数集合はRで稠密なので、 は空ではありません。したがって、選択公理は、Aから Qへの写像sが存在することを示しています。 ${\displaystyle A=\{x\in I:f(y)\not \rightarrow f(x){\text{ as }}y\rightarrow x\}}$ ${\displaystyle f(x^{-})\leq f(x)\leq f(x^{+})}$${\displaystyle f(x^{-})=\lim \limits _{y\uparrow x}f(y)}$${\displaystyle f(x^{+})=\lim \limits _{y\downarrow x}f(y)}$${\displaystyle f(x^{-})<f(x^{+})}$ ${\displaystyle \prod _{x\in A}[{\bigl (}f(x^{-}),f(x^{+}){\bigr )}\cap \mathrm {Q} ]}$

sが単射であることを示すだけで十分であり、これはA がQより大きくない濃度を持ち、 Q が可算であることを意味します。x ₁、x ₂ ∈ A、 x ₁ < x ₂と仮定すると、 sの構築により、 s(x ₁ )<s(x ₂ )が得られます。したがってs は単射です。 ${\displaystyle f(x_{1}^{-})<f(x_{1}^{+})\leq f(x_{2}^{-})<f(x_{2}^{+})}$

、つまりf _nの不連続点とすると、Aは可算であり、{ a _n : n ∈ N } と表記できます。 ${\displaystyle A_{n}=\{x\in I;f_{n}(y)\not \rightarrow f_{n}(x){\text{ as }}y\to x\}}$ ${\displaystyle A=(\cup _{n\in \mathrm {N} }A_{n})\cup (\mathrm {I} \cap \mathrm {Q} )}$

( f _n ) _{n  ∈  N}の一様有界性とBW 定理により、( f ^{( 1)} _n (a ₁ ) ) _{n  ∈  N}が収束するような部分列 ( f (1) _n ) _{n  ∈  N}が存在します。i =1,...,k に対して ( f (k) n (ai ) ) n ∈ N が収束するように ( f (k) n ) n ∈ N が選択されたとすると、_一様有界性^により、₍ f ( k _{)  n  )} n ∈ _Nの_{部分 列 (} f ( ^k ₊ 1 _{)  n  )} n ∈ N が存在し、⁽ _f ( _{k  +  1} ) n ⁽ _a k ₊₁ ) ) _{n  ∈  N}が収束し、したがって ( f ^(k+1) _n ) _{n  ∈  N}はi =1,...,k+1に対して収束します。

とすると、 g _{k は}A内で点ごとに収束するf _nの部分列になります。 ${\displaystyle g_{k}=f_{k}^{(k)}}$

とする と、a ∈ Aに対してh _k (a)=g _k (a)となり、h _{k は}増加します。 とすると、増加関数の上限と極限は増加するため、 h が増加し、a ∈ Aに対してステップ 2によりとなります。ステップ 1により、hには最大で可算な数の不連続点があります。 ${\displaystyle h_{k}(x)=\sup _{a\leq x,a\in A}g_{k}(a)}$${\displaystyle h(x)=\limsup \limits _{k\rightarrow \infty }h_{k}(x)}$${\displaystyle h(a)=\lim \limits _{k\rightarrow \infty }g_{k}(a)}$

g _{k が}hのすべての連続性で収束することを示します。x をhの連続性、 q,r ∈ A、q<x<rとすると、 ${\displaystyle g_{k}(q)-h(r)\leq g_{k}(x)-h(x)\leq g_{k}(r)-h(q)}$

${\displaystyle \limsup \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}\leq \limsup \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(r)-h(q){\bigr )}=h(r)-h(q)}$

${\displaystyle h(q)-h(r)=\liminf \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(q)-h(r){\bigr )}\leq \liminf \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}}$

したがって、

${\displaystyle h(q)-h(r)\leq \liminf \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}\leq \limsup \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}\leq h(r)-h(q)}$

h はxで連続なので、極限をとると、${\displaystyle q\uparrow x,r\downarrow x}$${\displaystyle h(q),h(r)\rightarrow h(x)}$${\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }g_{k}(x)=h(x)}$

これは、ステップ 2と同様の対角プロセスで実行できます。

上記の手順で、I内で点ごとに収束する(f n)n∈Nの _部分 列を構築_しまし_た。

U を実数直線の開集合とし、f_{​​ n}  :  U  →  R、n  ∈  Nを関数列とする。 ( f _n )はUにコンパクトに埋め込まれた任意のW上で一様有界な全変分を持つものとする。つまり、コンパクト閉包W̄  ⊆  Uを持つすべての集合W  ⊆  Uに対して、

${\displaystyle \sup _{n\in \mathbf {N} }\left(\|f_{n}\|_{L^{1}(W)}+\|{\frac {\mathrm {d} f_{n}}{\mathrm {d} t}}\|_{L^{1}(W)}\right)<+\infty ,}$

ここで導関数は緩和分布の意味で取られます。

このとき、 f _nの部分列 f _{n k} , k  ∈  Nと関数f  :  U  →  Rが存在し、局所的に有界な変化を持ち、

• f _{n k は}ほぼすべての点でfに収束します。
• そしてf _{n k は}L ¹内で局所的にfに収束する（局所積分関数を参照）。つまり、U内にコンパクトに埋め込まれたすべてのWに対して、

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{W}{\big |}f_{n_{k}}(x)-f(x){\big |}\,\mathrm {d} x=0;}$ ^{[1] : 132}

• そして、W がUにコンパクトに埋め込まれている場合、

${\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\leq \liminf _{k\to \infty }\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n_{k}}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}.}$^{[1] : 122}

ヘリーの定理には多くの一般化と改良があります。バナッハ空間に値を取る BV 関数に対する次の定理は、Barbu と Precupanu によるものです。

X を反射的かつ可分なヒルベルト空間とし、 E をXの閉じた凸部分集合とする。 Δ :  X  → [0, +∞) を1次正定同次とする。z _nが BV([0,  T ];  X )内の一様有界列であり、すべてのn  ∈  Nおよびt  ∈ [0,  T ] に対してz _n ( t ) ∈  Eであるとする。このとき、部分列z _{n k}と関数δ ,  z  ∈ BV([0,  T ];  X ) が存在し、

• すべてのt∈  [0,  T ]に対して、

${\displaystyle \int _{[0,t)}\Delta (\mathrm {d} z_{n_{k}})\to \delta (t);}$

• そして、すべてのt∈  [0,  T ]に対して、

${\displaystyle z_{n_{k}}(t)\rightharpoonup z(t)\in E;}$

• そして、0 ≤  s  <  t  ≤  Tのすべての場合において、

${\displaystyle \int _{[s,t)}\Delta (\mathrm {d} z)\leq \delta (t)-\delta (s).}$

• 制限された変動
• フランコバ-ヘリー選択定理
• 総変動

• ルディン、W. (1976)。数学解析の原理。国際純粋・応用数学シリーズ（第3版）。ニューヨーク：マグロウヒル。167。ISBN 978-0070542358。

• Barbu, V.; Precupanu, Th. (1986).バナッハ空間における凸性と最適化. 数学とその応用 (東ヨーロッパシリーズ). 第 10 巻 (第 2 ルーマニア語版). ドルドレヒト: D. Reidel Publishing Co. xviii+397. ISBN 90-277-1761-3。 MR860772​