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数学において、有限体F上の非特異代数曲線CのHasse–Witt 行列Hは、第一種微分法の基底に関する Frobenius 写像 (F は q 個の要素を持ち、q は素数 p のべき乗である p 乗写像)の行列である。 これは、 Cの種数がgであるg × g 行列である。Hasse – Witt行列のランクは、HasseまたはHasse –Witt 不変量である。
序論で述べたこの定義は、古典的な意味では自然であり、ヘルムート・ハッセとエルンスト・ヴィット（1936）によるものです。これは、 Cのヤコビ多様体Jのpランクの問題に対する解決策を提供します。pランクはHのランクによって制限され、具体的には、フロベニウス写像をg回自身と合成したランクです。また、これは原理的にはアルゴリズム的な定義でもあります。近年、この定義は暗号学への実用的な応用として大きな関心を集めており、 Cの場合は超楕円曲線です。曲線Cは、 H = 0の場合に超特殊です。
その定義には、少なくとも2つの注意点が必要です。まず、フロベニウス写像に関する慣例があり、現代の理解では、Hに必要なのはフロベニウス写像の転置です（詳しくは、算術的および幾何学的フロベニウスを参照してください）。次に、フロベニウス写像はF線形ではありません。Fの素体Z / p Z上で線形です。したがって、行列を書き下すことはできますが、直接的な意味での線形写像を表すものではありません。
層コホモロジーの解釈は次のとおりです。pべき乗写像は、
言い換えれば、構造層に係数を持つCの第一コホモロジーです。これは現在、ピエール・カルティエとユーリ・マニンにちなんでカルティエ・マニン作用素（単にカルティエ作用素と呼ばれることもあります）と呼ばれています。ハッセ・ウィットの定義との関連は、セル双対性によって生じ、曲線に対してその群を と関連付けます。
ここで、Ω C = Ω 1 CはC上のケーラー微分層の層である。
標数 pの体K上のアーベル多様体Aのpランクは、 pによる乗算の核A [ p ] がp k個の点を持つような整数kです。p ランクは 0 からAの次元dまでの任意の値をとることができます。対照的に、他の任意の素数lに対しては、 A [ l ] にはl 2 d個の点があります。pランクが低い理由は、 A上のpによる乗算が分離不可能な同種写像であるためです。微分はpであり、 Kでは 0 になります。核を群スキームとして見ることで、より完全な構造を得ることができます ( David Mumford 著『Abelian Varieties 』146-7ページを参照)。しかし、例えば除算方程式のmod p による簡約を見ると、解の数は減少します。
したがって、カルティエ・マニン作用素またはハッセ・ウィット行列のランクは、 pランクの上限を与える。pランクは、フロベニウス作用素をg回自身と合成したランクである。ハッセとウィットの原著論文では、この問題はJに依存しないC固有の用語で表現されている。そこでは、関数体F ( C )の可能なArtin–Schreier 拡張(この場合、クンマー理論の類似物)を分類するという問題が提起されている。
楕円曲線の場合については、1934 年に Hasse によって研究されました。種数は 1 なので、行列Hの可能性は、 Hがゼロで、Hasse 不変量が 0、pランク 0 の場合（超特異の場合）、またはH がゼロではなく、Hasse 不変量が 1、pランク 1 の場合（通常のケース）のみです。[ 1 ]ここで、少なくともq = pの場合、 Hは法 p に関してC上のF上の点の数 N と合同である という合同式があります。楕円曲線に関する Hasse の定理により、Nを法pで知ることで、 p ≥ 5の場合のNが決定されます。この局所ゼータ関数との関連は、詳細に研究されています。
3次関数f ( X , Y , Z ) = 0 で定義される平面曲線の場合、ハッセ不変量は、 f p −1における( XYZ ) p −1の係数がゼロである場合に限りゼロになります。[ 1 ]