一般化整数ガンマ分布

Yの確率密度関数と累積分布関数はそれぞれ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]で与えられます。}

${\displaystyle f_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{p};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,K\sum _{j=1}^{p}P_{j}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)}$

そして

${\displaystyle F_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{p};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,1-K\sum _{j=1}^{p}P_{j}^{*}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)}$

どこ

${\displaystyle K=\prod _{j=1}^{p}\lambda _{j}^{r_{j}}~,~~~~~P_{j}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,y^{k-1}}$

そして

${\displaystyle P_{j}^{*}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,(k-1)!\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {y^{i}}{i!\,\lambda _{j}^{ki}}}}$

と

そして

どこ

一般化カイ二乗分布に関する文献には、別の表現方法も記載されており、この分野では数年前からコンピュータアルゴリズムが利用可能となっている。

確率密度関数${\displaystyle Z\!}$は

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle f_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\dots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p},\lambda )=\\[5pt]\displaystyle \quad \quad \quad K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{\left\{{c_{j,k}{\frac {\Gamma (k)}{\Gamma (k+r)}}z^{k+r-1}{}_{1}F_{1}(r,k+r,-(\lambda -\lambda _{j})z)}\right\}}{\rm {,}}~~~~(z>0)\end{array}}}$

累積分布関数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle F_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\ldots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{p},\lambda )={\frac {\lambda ^{r}\,{z^{r}}}{\Gamma (r+1)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1,-\lambda z)\\[12pt]\quad \quad \displaystyle -K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{c_{j,k}^{*}}\sum \limits _{i=0}^{k-1}{\frac {z^{r+i}\lambda _{j}^{i}}{\Gamma (r+1+i)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1+i,-(\lambda -\lambda _{j})z)~~~~(z>0)\end{array}}}$

どこ

${\displaystyle c_{j,k}^{*}={\frac {c_{j,k}}{\lambda _{j}^{k}}}\Gamma (k)}$

と${\displaystyle c_{j,k}}$上記の（１）～（３）で与えられる。上記の式において${\displaystyle _{1}F_{1}(a,b;z)}$これはクンマー合流型超幾何関数です。この関数は通常、非常に優れた収束特性を持ち、現在では多くのソフトウェアパッケージで容易に扱うことができます。