ガウスぼかし

画像処理において、ガウスぼかし(ガウス平滑化とも呼ばれる) は、ガウス関数(数学者で科学者のカール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられた)によって画像をぼかした結果です。

これはグラフィック ソフトウェアで広く使用されている効果で、通常は画像のノイズを減らし、ディテールを少なくするために使用されます。このぼかし技法の視覚効果は、半透明のスクリーンを通して画像を見たときのような滑らかなぼかしであり、焦点の合っていないレンズによって生成されるボケ効果や、通常の照明下にある物体の影とは明らかに異なります。

ガウス平滑化は、さまざまなスケールで画像構造を強化するために、コンピューター ビジョンアルゴリズムの前処理段階としても使用されます。スケール空間表現とスケール空間実装を参照してください。

数学的には、画像にガウスぼかしを適用することは、画像をガウス関数で畳み込むことと同じです。これは、2 次元ワイエルシュトラス変換とも呼ばれます。対照的に、円で畳み込むと (つまり、円形ボックスぼかし)、ボケ効果をより正確に再現します。

ガウスのフーリエ変換は別のガウスであるため、ガウスぼかしを適用すると、画像の高周波成分が削減される効果があります。つまり、ガウスぼかしはローパス フィルターです。

ガウスぼかしは、ガウス関数（統計学では正規分布も表す）を使用して画像の 各ピクセルに適用する変換を計算する画像ぼかしフィルタの一種です。1次元のガウス関数の式は次のとおりです。$${\displaystyle G(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$$

2次元では、各次元に1つずつある2つのガウス関数の積になります。^{[1] [2] [3]} ここで、xは水平軸の原点からの距離、yは垂直軸の原点からの距離、σはガウス分布の標準偏差です。これらの軸の原点は中心(0, 0)にあることに注意することが重要です。この式を2次元に適用すると、中心点からのガウス分布を持つ 同心円の輪郭を持つ表面が生成されます。$${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$$

この分布の値は、元の画像に適用される畳み込み行列を作成するために使用されます。この畳み込みプロセスは、右の図に視覚的に示されています。各ピクセルの新しい値は、そのピクセルの近傍の加重平均に設定されます。元のピクセルの値には最も重い重み (最高のガウス値を持つ) が与えられ、元のピクセルからの距離が増加するにつれて、近傍のピクセルにはより小さな重みが与えられます。これにより、他のより均一なぼかしフィルターよりも境界とエッジが適切に保持されるぼかしが実現されます。スケール スペースの実装も参照してください。

理論上は、画像上のすべての点におけるガウス関数はゼロではないため、各ピクセルの計算には画像全体を含める必要があります。実際には、ガウス関数の離散近似を計算する場合、3 σを超える距離にあるピクセル の影響は実質的にゼロと見なせるほど小さくなります。したがって、その範囲外のピクセルの影響は無視できます。通常、画像処理プログラムは、ガウス分布全体で得られる結果に十分近い結果を確実に得るために、次元× (ここでは天井関数)の行列を計算するだけで済みます。 ${\displaystyle \lceil 6\sigma \rceil }$${\displaystyle \lceil 6\sigma \rceil }$${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$

ガウスぼかしは、円対称であることに加えて、2 次元画像に 2 つの独立した 1 次元計算として適用できるため、分離可能フィルターと呼ばれます。つまり、2 次元行列を適用する効果は、一連の 1 次元ガウス行列を水平方向に適用し、そのプロセスを垂直方向に繰り返すことによっても実現できます。計算の観点から見ると、これは便利な特性です。非分離カーネルの場合 とは対照的に、計算を時間内で実行できるためです ( hは高さ、wは幅です。Big O 表記法を参照)。${\displaystyle O\left(w_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)+O\left(h_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)}$${\displaystyle O\left(w_{\text{kernel}}h_{\text{kernel}}w_{\text{image}}h_{\text{image}}\right)}$

画像に連続したガウスぼかしを適用すると、1 つの大きなガウスぼかしを適用するのと同じ効果があります。ガウスぼかしの半径は、実際に適用されたぼかし半径の 2 乗の合計の平方根になります。たとえば、半径 6 と 8 の連続したガウスぼかしを適用すると、半径 10 の単一のガウスぼかしを適用するのと同じ結果が得られます。これは、 です。この関係のため、連続した小さなぼかしでガウスぼかしをシミュレートしても処理時間を節約することはできません。必要な時間は、単一の大きなぼかしを実行するのと同じくらい長くなります。 ${\displaystyle {\sqrt {6^{2}+8^{2}}}=10}$

ガウスぼかしは、画像のサイズを縮小するときによく使用されます。画像をダウンサンプリングする場合、再サンプリングの前に画像にローパス フィルターを適用するのが一般的です。これは、ダウンサンプリングされた画像に不要な高周波情報 (エイリアシング) が表示されないようにするためです。ガウスぼかしには、鋭いエッジがないなどの優れた特性があるため、フィルター処理された画像にリンギングが生じません。

ガウスぼかしはローパスフィルタであり、高周波信号を減衰させます。^[3]

その振幅ボード線図（周波数領域における対数スケール）は放物線です。

標準偏差を持つガウスフィルタは、画像をどの程度滑らかにしますか？言い換えると、画像内のピクセル値の標準偏差をどの程度減らすのでしょうか？グレースケールのピクセル値に標準偏差があると仮定すると、フィルタを適用した後の減少した標準偏差は次のように近似できます^{[引用が必要]}${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle \sigma _{X}}$${\displaystyle \sigma _{r}}$ $${\displaystyle \sigma _{r}\approx {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{f}2{\sqrt {\pi }}}}.}$$

このサンプル マトリックスは、各ピクセルの中点でガウス フィルター カーネル (σ = 0.84089642) をサンプリングし、正規化することによって生成されます。中心要素 ([0, 0]) の値は最大で、中心からの距離が増加するにつれて対称的に減少します。フィルター カーネルの原点は中心にあるため、マトリックスは で始まり、R がカーネル半径に等しいところで終わります。 ${\textstyle G(-R,-R)}$${\textstyle G(R,R)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.00000067&0.00002292&{\textbf {0.00019117}}&0.00038771&{\textbf {0.00019117}}&0.00002292&0.00000067\\0.00002292&0.00078633&0.00655965&0.01330373&0.00655965&0.00078633&0.00002292\\{\textbf {0.00019117}}&0.00655965&0.05472157&0.11098164&0.05472157&0.00655965&{\textbf {0.00019117}}\\0.00038771&0.01330373&0.11098164&{\textbf {0.22508352}}&0.11098164&0.01330373&0.00038771\\{\textbf {0.00019117}}&0.00655965&0.05472157&0.11098164&0.05472157&0.00655965&{\textbf {0.00019117}}\\0.00002292&0.00078633&0.00655965&0.01330373&0.00655965&0.00078633&0.00002292\\0.00000067&0.00002292&{\textbf {0.00019117}}&0.00038771&{\textbf {0.00019117}}&0.00002292&0.00000067\end{bmatrix}}}$$

要素 0.22508352 (中央の要素) は、3σ のすぐ外側にある 0.00019117 の 1177 倍の大きさです。

ガウスぼかし効果は通常、ガウス値のFIRカーネルで画像を畳み込むことによって生成されます。詳細については ^{[4]を参照してください。}

実際には、ガウスぼかしの分離可能な特性を利用するには、プロセスを 2 つのパスに分割するのが最適です。最初のパスでは、1 次元カーネルを使用して、水平方向または垂直方向のみに画像をぼかします。2 番目のパスでは、同じ 1 次元カーネルを使用して、残りの方向にぼかします。結果として得られる効果は、1 つのパスで 2 次元カーネルを使用して畳み込むのと同じですが、計算が少なくて済みます。

離散化は、通常、各ピクセルの中点に対応する位置で、ガウスフィルタカーネルを離散ポイントでサンプリングすることによって実現されます。これにより計算コストが削減されますが、非常に小さなフィルタカーネルの場合、非常に少ないサンプルでガウス関数をポイントサンプリングすると、大きな誤差が生じます。このような場合、ガウス関数を各ピクセルの領域で積分することで、（わずかな計算コストで）精度が維持されます。^[5]

ガウス分布の連続値をカーネルに必要な離散値に変換すると、値の合計は 1 と異なります。これにより、画像が暗くなったり明るくなったりします。これを解決するには、カーネル内の各項をカーネル内のすべての項の合計で割って値を正規化します。

はるかに優れた、理論的に根拠のあるアプローチは、代わりにガウスカーネルの離散類似物を使用して平滑化を実行することです。 ^[6]これは、連続領域上の連続ガウスカーネルを特別なものにするのと同様の特性を離散領域で持ちます。たとえば、空間平滑化プロセスを記述する拡散方程式の解に対応するカーネル、カーネルの分散の加算に関する半群特性に従うカーネル、または空間領域上のブラウン運動の効果を記述するカーネルがあり、その値の合計は正確に1に等しくなります。ガウスカーネルの離散類似物に関する詳細な説明については、スケールスペース実装に関する記事とを参照してください。^[6]

FIRの効率はシグマ値が高いと低下します。FIRフィルタの代替手段は存在します。これには、非常に高速な複数ボックスブラー、高速で正確なIIR Dericheエッジ検出器、ボックスブラーに基づく「スタックブラー」などがあります。^[7]

記録済みの時間信号やビデオを処理する場合、データは記録済みで全方向から利用できるため、ガウスカーネルを時間領域の平滑化に使用することもできます。ただし、時間信号やビデオをリアルタイムの状況で処理する場合、ガウスカーネルは時間平滑化には使用できません。これは、ガウスカーネルがアクセスするデータが未来のデータであり、そのようなデータは利用できないためです。リアルタイムの状況で時間平滑化を行う場合、代わりに時間因果限界カーネルと呼ばれる時間カーネルを使用できます。^[8]このカーネルは、時間因果状況でも、ガウスカーネルが非因果ケースで従うのと同様の特性 (スケールの増加と時間スケール共分散に向けた新しい構造の作成なし) を備えています。時間因果限界カーネルは、特別に選択された時間定数でカスケード接続された無限の数の切断指数カーネルとの畳み込みに対応します。離散データの場合、このカーネルは、カスケード接続された少数の一次再帰フィルタによって数値的に近似できることが多い。詳細については ^{[8]を参照。}

ガウス平滑化は、エッジ検出でよく使用されます。ほとんどのエッジ検出アルゴリズムはノイズに敏感です。ラプラス演算子の離散化から構築された 2 次元ラプラシアン フィルターは、ノイズの多い環境に非常に敏感です。

エッジ検出の前にガウスぼかしフィルタを使用することで、画像内のノイズレベルを低減し、その後のエッジ検出アルゴリズムの結果を改善することを目指します。このアプローチは、一般的にラプラシアンオブガウス、またはLoGフィルタリングと呼ばれます。^[9]

多くの携帯電話カメラを含む低価格のデジタルカメラでは、高ISO感度によって生じる画像ノイズを目立たなくするために、ガウスぼかし^[要出典]がよく使用されます。

ガウスぼかしは、カメラソフトウェアによる写真の画像後処理の一部として自動的に適用され、細部の不可逆的な損失につながります。 ^{[10] [より良い情報源が必要]}

• ガウス分布の差
• 画像ノイズ
• ガウスフィルタ
• ガウスピラミッド
• 無限インパルス応答(IIR)
• スケールスペース実装
• 中央値フィルター
• ワイエルシュトラス変換

• 分離可能なガウスぼかしフィルターの GLSL 実装。
• 画像の比較のために細部を除去するために木版画とエッチングに適用されたガウスぼかし (ローパス フィルタリング) の例。
• Mathematica ガウスフィルター関数

• OpenCV (C++) GaussianBlur 関数