ガウス円問題

数学において、ガウス円問題とは、原点を中心とし半径の円内に整数格子点がいくつあるかを決定する問題である。この数は円の面積で近似されるため、実際の問題は点の数と面積の差を表す誤差項を正確に制限することです。この解決法の最初の進歩はカール・フリードリヒ・ガウスによってなされたため、この名前が付けられました。 ${\displaystyle r}$

中心が原点、半径が の円を考えます。ガウスの円問題とは、 と がともに整数である円の内側に点がいくつあるかを問う問題です。この円の方程式は直交座標でと表されるため、この問題は、 となる整数mとnのペアがいくつあるかを問う問題と同等です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

与えられた値の答えが で示される場合、次のリストは 0 から 12 までの整数の最初のいくつかの値を示し、その後に最も近い整数に丸められた 値のリストが続きます。${\displaystyle r}$${\displaystyle N(r)}$${\displaystyle N(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \pi r^{2}}$

1、5、13、29、49、81、113、149、197、253、317、377、441（OEISの配列A000328）

0、3、13、28、50、79、113、154、201、254、314、380、452（OEISの配列A075726）

${\displaystyle N(r)}$は、半径の円の内側の面積です。これは、平均して各単位正方形に1つの格子点が含まれるためです。したがって、円内の実際の格子点の数は、その面積 とほぼ等しくなります。したがって、 ${\displaystyle \pi r^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

絶対値が比較的小さい誤差項についてです。 の正しい上限を見つけることが、この問題がとった形です。 は整数である必要はないことに注意してください。 を得た後、 これらの場所で が増加し、その後 は ( の割合で) 減少し、次に が増加するまで続きます。 ${\displaystyle E(r)}$${\displaystyle \mid E(r)\mid }$${\displaystyle r}$${\displaystyle N(4)=49}$${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$${\displaystyle E(r)}$${\displaystyle 8,4,8,12}$${\displaystyle 2\pi r}$

^{ガウスは[1]}次のこと を証明した。

${\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

ハーディ^[2]とランダウは独立して 、

${\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

小さなo記法を使って。正しい境界は次のように 推測される^[3]。

${\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

執筆時点での上限は ${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}><t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$

下限値は1915年にハーディとランダウによって証明され、上限値は2000年にマーティン・ハクスリーによって証明された。 ^[4]

の値はいくつかの級数で表すことができます。床関数を含む和で表すと、次のように表すことができます。^[5]${\displaystyle N(r)}$

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

これはヤコビの二乗定理の結果であり、ヤコビの三重積からほぼ直ちに導かれる。^[6]

平方和関数を、ある 数を2つの平方の和として表す方法の数として定義すると、はるかに単純な和が現れる。すると^[1]${\displaystyle r_{2}(n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

最近の進歩は、ハーディによって最初に発見された以下の同一性に基づいています。^[7]

${\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}$

ここで、は1次の第一種 ベッセル関数を表します。${\displaystyle J_{1}}$

元の問題は円内の整数格子点を求めていますが、円錐曲線などの他の形状を考慮しない理由はありません。実際、ディリクレの約数問題は、円を長方形の双曲線に置き換えた同等の問題です。^{[3]同様に、問題を2次元から高次元に拡張して、}球面またはその他のオブジェクト 内の整数点を求めることもできます。これらの問題に関する文献は豊富にあります。幾何学を無視して、問題を単にディオファントス不等式の代数問題と見なすと、問題に現れる指数を平方から立方、またはそれ以上に増やすことができます。

ドットプラニメーターは、同じ原理に基づいて図形の面積を推定する物理的な装置です。透明なシートに印刷された正方形のドットグリッドで構成されており、図形の面積は、図形内のドットの数とグリッドの正方形の面積の積として推定できます。^[8]

もう一つの一般化は、不等式の 互いに素な整数解の数を計算することである。${\displaystyle m,n}$

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,}$

この問題は原始円問題に対する原始的な解を探すことから原始円問題として知られている。^{[9]これは原点に立つ}ユークリッドの果樹園においてrの距離内に何本の木が見えるかという問題として直観的に理解できる。そのような解の数が と表記されている場合、小さな整数値を取る の値は${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle r}$

0、4、8、16、32、48、72、88、120、152、192…（OEISの配列A175341）。

通常のガウス円問題と同じ考え方と、 2つの整数が互いに素である確率が であるという事実を用いると、次のことを示すのは比較的簡単である。 ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).}$

通常の円問題と同様に、原始円問題の問題点は誤差項の指数を減らすことである。現在、リーマン予想を仮定した場合の最良の指数は である。^[9]リーマン予想を仮定しない場合、現在知られている最良の上限は ${\displaystyle 221/304+\epsilon }$

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))}$

正の定数に対して。^[9]特に、リーマン予想を仮定しない 任意の形の誤差項の境界は現在知られていない。${\displaystyle c}$${\displaystyle r^{1-\varepsilon }}$${\displaystyle \epsilon >0}$

• ワイスタイン、エリック W.「ガウスの円問題」。マスワールド。
• グラント・サンダーソン、「素数の規則性に隠れた円周率」、3Blue1Brown