フラウンホーファー回折方程式

光学では、フラウンホーファー回折方程式は、回折パターンが回折物体から遠く離れた場所で観察される場合と、結像レンズの焦点面で観察される場合の両方において、波の回折をモデル化するために使用されます。^[¹^]^[²^]

この方程式はジョセフ・フォン・フラウンホーファーにちなんで名付けられたが、彼は実際にはこの理論の開発には関わっていなかった。^{[ 3 ]}

本稿では、様々な数式を用いてフラウンホーファー回折の式を示し、特に垂直入射する単色平面波の場合について、様々な形状の回折開口部におけるフラウンホーファー回折パターンの詳細な計算結果を提供する。フラウンホーファー回折に関する定性的な考察は、他の文献を参照されたい。

意味

光線が障害物によって部分的に遮られると、光の一部が物体の周囲に散乱し、影の端に明暗の帯が見られることがよくあります。この効果は回折として知られています。^{[ 4 ]}キルヒホッフの回折方程式は、波動方程式から導出された、開口部によって回折される波を表す式を提供します。この方程式の解析解は、ほとんどの構成では利用できません。^{[ 5 ]}

フラウンホーファー回折方程式は、回折波が遠視野で観測される場合や、レンズを用いて回折光を集束させる場合に適用できる近似式です。多くの場合、フラウンホーファー方程式には単純な解析解が得られ、そのいくつかは以下に示されています。

デカルト座標系において

開口部が $x'y' 平面$ 上にあり、原点が開口部内にあり、波長λ、波数 $k$ $、$ 複素振幅 $A$ $($ $x$ $'$ $,$ $y$ $'$ $)の$ 単色波によって照射され、回折波が正の $x,y$ 平面に沿って観測される場合 $z$ -軸、ここで $l 、 mは$ 原点に対する点 $x、y$ の方向余弦である。回折波の複素振幅 $U$ $($ $x$ $、$ $y$ $)は、フラウンホーファー回折方程式によって次のように与えられる。$ ^[⁶^]

${\begin{aligned}U(x,y,z)&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}(lx'+my')}\,dx'\,dy'\\&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik(lx'+my')}\,dx'\,dy'\end{aligned}}$

この式からわかるように、回折パターンの形状は観察方向のみに依存するため、観察距離の変化によって回折パターンの大きさは変化するが、形状は変化しない。

具体的には、フラウンホーファー回折方程式は^{[ 7 ]である。} ${\begin{aligned}U(x,y,z)\estimate {\frac {e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}}{i\lambda z}}\iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {k}{z}}(x'x+y'y)}\,dx'\,dy'\end{整列}}$ どこ $k={2\pi }/{\lambda }$ 。

上記の式における積分は、周波数で評価された開口関数のフーリエ変換であることがわかる。 ^{[ 8 ]} ${\begin{aligned}f_{x}&=x/(\lambda z)=l/\lambda \\f_{y}&=y/(\lambda z)=m/\lambda \end{aligned}}$

したがって、この方程式はフーリエ変換を用いて次のように表すこともできます。 $U(x,y,z)\propto {\hat {f}}[A(x',y')]_{f_{x}f_{y}}$ ここで、 $Âは$ $A$ のフーリエ変換です。フーリエ変換の定式化は、回折問題を解く際に非常に役立ちます。

別の形式は次のとおりです。

$U(\mathbf {r} )\propto {\int _{\text{Aperture}}A(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}={\int _{\text{Aperture}}a_{0}(\mathbf {r'} )e^{i\mathbf {(k_{0}-k)} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}$

ここで $、r と r'は$ それぞれ観測点と開口部内の点を表し、 $k0 と$ $kは$ それぞれ開口部における擾乱と回折波の波数ベクトルを表し、 $a0 (r') は$ 開口部における擾乱の大きさを表す。

極座標では

回折開口部が円対称である場合、直交座標ではなく極座標を使用する方が便利です。^[⁹^]

開口部内の点の座標は $ρ 、 ω$ であり、以下のようになる。 $x'=\rho '\cos \omega ';y'=\rho '\sin \omega '$ そして $x=\rho \cos \omega ;y=\rho \sin \omega$

$ρ'$ における複素振幅は $A (ρ)$ で与えられ、面積 $d x d yは$ ρ ′ d ρ ′ d ω ′に変換され、 ${\begin{aligned}U(\rho ,\omega ,z)&\propto \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}(\rho \rho '\cos \omega \cos \omega '+\rho \rho '\sin \omega \sin \omega ')}\rho 'd\rho 'd\omega '\\&\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}\rho \rho '\cos(\omega -\omega ')}\,d\omega '\rho '\,d\rho '\end{aligned}}$

ベッセル関数の積分表示を用いると：^{[ 10 ]} $J_{0}(p)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{ip\cos \alpha }\,d\alpha$ 我々は持っています $U(\rho ,z)\propto 2\pi \int _{0}^{\infty }A(\rho ')J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '$

$ここで、 ω$ に関する積分は $2π$ になります $。$ これは、方程式が円対称であるため、つまり $ω$ に依存しないためです。

この場合、 $U (ρ, z)$ は開口関数 $A$ $($ $ρ$ $)の$ フーリエ・ベッセル変換またはハンケル変換に等しくなります。

例

以下に、垂直入射する単色平面波によるフラウンホーファー回折の例を示します。

いずれの場合も、回折物体は $z = 0$ 平面に位置し、入射平面波の複素振幅は次式で与えられる。 $A(x',y')=ae^{i2\pi ct/\lambda }=ae^{ikct}$ どこ

$a$ は波の擾乱の大きさであり、
$λ$ は波長です。
$c$ は光速です。
$t$ は時間です
$k$ = $2π / λ は$ 波数である

そして時刻 $t$ $= 0では$ 位相はゼロである。

時間依存因子は一定であるため、計算全体を通して省略され、強度を計算する際に平均化されます $。r$ における強度は、振幅とその複素共役の積に比例します。 $I(\mathbf {r} )\propto U(\mathbf {r} ){\overline {U}}(\mathbf {r} )$

これらの導出は、ほとんどの標準的な光学の教科書に、表記法が異なるものの、若干異なる形で記載されています。ここでモデル化された各システムについて、参考文献が示されています。使用されているフーリエ変換については、こちらをご覧ください。

細長い長方形のスリット

$開口部は幅W$ のスリットで、 $y$ 軸に沿って配置されている。

統合による解決策

スリットの中心が $x = 0$ にあると仮定すると、上記の最初の式は、すべての $y$ の値に対して次のようになります。^{[ 11 ]} ${\begin{aligned}U(x,z)&=a\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\[4pt]&=-{\frac {a\lambda z}{2\pi ix}}\left[e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\right]_{-W/2}^{W/2}\end{aligned}}$

オイラーの公式を用いると、これは次のように簡略化できます。 ${\begin{aligned}U(x,z)&=aW{\frac {\sin \left[{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\right]}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=aW\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}$

ここで、sinc $(p) = sin(p)/ p$ $です$ 。sinc関数は $sin($ $πp$ $)/$ $πp$ と定義されることもあり、異なるテキストで導出を確認する際に混乱を招く可能性があります $。$

これは次のように書くこともできます。 $U(\theta )=aW\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]$ ここで、 $θは$ z軸と $xと$ 原点を結ぶ線との間の角度であり、 $θ$ $<< 1の$ とき $sin θ \approx x / z$ である。

フーリエ変換解

スリットは、rect関数で次のように表すことができます。^{[ 12 ]} $\operatorname {rect} \left({\frac {x}{W}}\right)$

この関数のフーリエ変換は次のように表される。 ${\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$ ここで、 $ξ$ はフーリエ変換周波数であり、 $sinc関数は$ $sin($ $π$ $x$ $)/($ $π$ $x$ $)$ と定義されます。

ここでのフーリエ変換周波数は $x / λz$ であり、 ${\begin{aligned}U(x,z)&\propto W{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\\&\propto W\operatorname {sinc} (kW\sin \theta /2)\end{aligned}}$

$一貫性を保つため、ここではsinc関数を$ $sin(x)/(x)$ と定義することに注意してください。

強度

強度は振幅の二乗に比例するため、^{[ 13 ]} ${\begin{aligned}I(\theta )&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}$

開口部

長方形の開口部

幅W、高さHの長方形のスリットが波長 $λ$ の単色平面波によって垂直に照射される場合 (スリットが垂直な角度で照射される場合) 、複素振幅は、前のセクションと同様の解析を使用して、2 つの独立した直交次元に適用して次のように求めることができます。^[¹⁴^]^[¹⁵^]^[¹⁶^]

${\begin{aligned}U(x,y)&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {\pi Wx}{\lambda R}}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi Hy}{\lambda R}}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {kWx}{2R}}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {kHy}{2R}}\right).\end{aligned}}$

強度は次のように表されます。 ${\begin{aligned}I(x,y)&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi Wx}{\lambda R}}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi Hy}{\lambda R}}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kWx}{2R}}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kHy}{2R}}\right)\end{aligned}}$

ここで、 $x$ 軸と $y$ 軸は観測面または像面（上図参照）上の横方向を定義し、 $Rは$ スリット中心と観測点間の距離である。 $P=(x,y)$ 画像平面上。

実際には、すべてのスリットは有限のサイズであるため、 $x軸$ （幅Wで定義）と $y$ 軸（高さHで定義）の両方の横方向で回折を生じます。スリットの高さHが幅Wよりもはるかに大きい場合、垂直方向（高さ方向または $y$ 軸）の回折縞の間隔は、水平方向（幅方向または $x$ 軸）の回折縞の間隔よりもはるかに小さくなります。垂直方向の縞の間隔が相対的に大きなHによって非常に小さくなると、垂直方向の縞を観察することが非常に困難になるため、観察面または像面で回折波の強度パターンを観察する人は、幅の狭い水平方向の縞しか認識できません。これが、回折格子のような高さのあるスリットまたはスリットアレイが、通常は幅方向の次元でのみ解析される理由です。照射光がスリットの全高を照射しない場合、垂直方向の縞の間隔は、スリットの高さ方向におけるレーザー光の寸法によって決まります。下の二重スリットパターンを詳しく調べると、主スポットの上下に非常に細かい垂直方向の回折縞があるだけでなく、より明瞭な水平方向の縞も存在することがわかります。

円形の開口部

開口部の直径は $W$ である。観測面における複素振幅は次式で与えられる。

$U(\rho ,z)=2\pi a\int _{0}^{W/2}J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '$

統合による解決策

漸化式^{[ 17 ]を用いると} ${\frac {d}{dx}}\left[x^{n+1}J_{n+1}(x)\right]=x^{n+1}J_{n}(x)$ 与える $\int _{0}^{x}x'J_{0}(x')\,dx'=xJ_{1}(x)$

代入すると $x'={\frac {2\pi \rho }{\lambda z}}\rho '$ 積分範囲が0と $πρW / λz$ になると、 $U(\rho ,z)\propto {\frac {J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{\pi W\rho /\lambda z}}$

$ρ / z = sin θ$ とすると、 $U(\theta )\propto {\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{\pi W\sin \theta /\lambda }}$

フーリエ・ベッセル変換を用いた解法

開口関数は階段関数として表すことができる。 $\Pi (W/2)$

この関数のフーリエ・ベッセル変換は次の関係式で与えられる。 $F[\Pi (r/a)]={\frac {2\pi J_{1}(qa)}{q}}$ ここで、 $q/2πは変換周波数であり、$ $ρ / λz$ に等しく、 $a = W /2$ です。

したがって、 ${\begin{aligned}U(\rho )&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{2\pi W\rho /\lambda z}}\\&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{W\sin \theta /\lambda }}\\&={\frac {2\pi J_{1}(kW\sin \theta /2)}{kW\sin \theta /2}}\end{aligned}}$

強度

強度は次のように表されます: ^{[ 18 ]} ${\begin{aligned}I(\theta )&\propto \left[{\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{(\pi W\sin \theta /\lambda )}}\right]^{2}\\&\propto \left[{\frac {J_{1}(kW\sin \theta /2)}{(kW\sin \theta /2)}}\right]^{2}\end{aligned}}$

回折パターンの形状

これはエアリー回折パターンとして知られています。

回折パターンは法線軸に対して対称である。

ガウス分布形状の開口部

例えば、ガウス分布形状の開口部、透過率がガウス分布で変化する写真スライドなどでは、原点から距離r'にある開口部内の点における振幅は次のように表される。

$A(\rho ')=\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}$ 贈る $U(\rho ,z)=2\pi \int _{0}^{\infty }\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}J_{0}{\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)}\rho '\,d\rho '$

フーリエ・ベッセル変換を用いた解法

フーリエ・ベッセル変換またはハンケル変換は次のように定義される。 $F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr$ ここで、 $Jν は$ $ν\geq$ $-$ $1/2$ の $ν$ 次第一種ベッセル関数である。

ハンケル変換は $F_{\nu }{\left[e^{(ar)^{2}/2}\right]}={\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}$ 贈る $U(\rho ,z)\propto e^{-\left[{\frac {\pi \rho \sigma }{\lambda z}}\right]^{2}}$ そして $U(\theta )\propto e^{-\left[{\frac {\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}\right]^{2}}$

強度

強度は次のように表されます: ^{[ 19 ]} $I(\theta )\propto e^{-{\frac {2\pi ^{2}\sigma ^{2}\sin ^{2}\theta }{\lambda ^{2}}}}$

この関数は右側にプロットされており、長方形または円形の開口部によって生成される回折パターンとは異なり、二次リングがないことがわかります。これはアポダイゼーションと呼ばれるプロセスで使用できます。開口部を透過率がガウス関数として変化するフィルターで覆うことで、二次リングのない回折パターンが得られます。^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

スリット

2つのスリット

2つのスリットから回折した光が重なり合うときに生じるパターンは、物理学において非常に興味深い。第一に、ヤングの干渉実験を通して光の波動説を確立する上で重要であり、第二に、量子力学における二重スリット実験における思考実験としての役割があるからである。

狭いスリット

$波長λ$ の平面波によって照射される2つの長いスリットがあると仮定します。スリットは $z =0$ 平面上にあり、 $y$ 軸に平行で、距離 $S$ だけ離れており、原点に関して対称です。スリットの幅は波長に比べて小さいとします。

統合による解決策

入射光はスリットによって回折され、均一な球面波となる。2つのスリットから特定の方向 $θに伝搬する波は、位相が異なる。原点に対する上側スリットと下側スリットからの波の位相は、それぞれ$ $(2π / λ)(S /2)sinθ と$ − $(2π / λ)(S /2)sinθで与えられる。$

加算された波の複素振幅は次のように与えられる。^{[ 22 ]} ${\begin{aligned}U(\theta )&=ae^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+ae^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\\&=a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}+i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)+a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}-i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)\\&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}$

フーリエ変換を用いた解法

開口部は関数で表すことができる：^{[ 23 ]} $a[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]$ ここで $δ$ はデルタ関数である。

我々は持っています ${\hat {f}}[\delta (x)]=1$ そして ${\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]$ 贈る ${\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]\\&=e^{-i\pi Sx/2\lambda }+e^{i\pi Sx/2\lambda }\\&=2\cos {\frac {\pi Sx}{2\lambda }}\end{aligned}}$

$U(\theta )=2\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{2\lambda }}$

これは、上で積分によって導出された式と同じものです。

強度

これにより、合成波の強度は次のようになります。^{[ 24 ]} ${\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}{\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]}\end{aligned}}$

有限幅のスリット

スリットの幅 $W$ は有限である。

統合による解決策

回折パターンは次のように表されます。^{[ 25 ]} ${\begin{aligned}U(\theta )&=a\left[e^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+e^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\right]\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ix'\sin \theta }/\lambda }\,dx'\\[1ex]&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}$

フーリエ変換を用いた解法

開口関数は次のように与えられる：^{[ 26 ]} $a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]$

この関数のフーリエ変換は次のように表される。 ${\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{2a}}\right)$ ここで $ξ$ はフーリエ変換周波数であり、 $sinc関数は$ $sin(πx)/(πx)$ と定義され、 ${\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]$

我々は持っています ${\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}\left[a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]\right]\\&=2W\left[e^{-i\pi Sx/\lambda z}+e^{i\pi Sx/\lambda z}\right]{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=2a\cos {\frac {\pi Sx}{\lambda z}}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}$ または $U(\theta )=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}$

これは積分によって導き出された式と同じである。

強度

強度は次のように表されます: ^{[ 27 ]} ${\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}$

強度パターンの形状は、個々のスリットによる回折パターンと、幅がごくわずかなスリットを用いた場合に得られる干渉パターンの積であることがわかる。これは、右の図に示されているように、レーザー光による単一スリット回折と、同一の2つのスリットによる回折／干渉パターンによって説明される。

格子

ボーンとウルフの『光学原理』では、回折格子は「入射波に振幅または位相、あるいはその両方の周期的な変化を与えるあらゆる配置」と定義されている。^{[ 28 ]}

狭スリット格子

$単純な回折格子は、スリット間隔がS$ で、スリット幅が入射光の波長よりもかなり小さい $N$ 個のスリットを持つスクリーンで構成されています。

統合による解決策

角度 $θ$ における回折波の複素振幅は次のように与えられる：^{[ 29 ]} ${\begin{aligned}U(\theta )&=a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}$

これは等比級数の和であるため。

フーリエ変換を用いた解法

開口部は次のように与えられる。 $\sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)$

この関数のフーリエ変換は次のとおりです。^{[ 30 ]} ${\begin{aligned}{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)\right]&=\sum _{n=0}^{N}e^{-if_{x}nS}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}$

強度

強度は次のように表されます: ^{[ 31 ]}

${\begin{aligned}I(\theta )&\propto {\frac {1-\cos(2\pi NS\sin \theta /\lambda )}{1-\cos(2\pi S\sin \theta /\lambda )}}\\&\propto {\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}\end{aligned}}$

この関数には一連の極大値と極小値があります。等間隔に並んだ「主極大値」と、主極大値の間にある多数の小さな極大値があります。主極大値は、次の場合に発生します。 $\pi S\sin _{n}\theta /\lambda =n\pi ,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ したがって、主な回折光線は次の角度で発生します。 $\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},n=0,\pm 1\pm 2,\ldots$

これは、垂直入射光に対する回折格子の式です。

$小さな中間極大の数はスリットの数N - 1$ に等しく、そのサイズと形状も $N$ によって決定されます。

$N$ = 50の場合のパターンの形状は最初の図に示されています。

20本および50本のスリットを持つ回折格子の詳細な構造は、2番目の図に示されています。

有限幅スリット格子

回折格子には、幅 $W$ 、間隔 $S$ のN個のスリットがある。

統合を用いた解決策

振幅は次のように与えられる：^{[ 32 ]} ${\begin{aligned}U(\theta ,\phi )&\propto a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\&\propto a\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}$

フーリエ変換を用いた解法

開口関数は次のように記述できます。^{[ 33 ]} $\sum _{n=1}^{N}\operatorname {rect} \left[{\frac {x'-nS}{W}}\right]$

畳み込み定理を用いると、2つの関数 $f (x)$ と $g (x)$ があり、 $h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,$ ここで $、* は$ 畳み込み演算を表すので、次の式も成り立つ。 ${\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).$ 開口関数は次のように書くことができます。 $\operatorname {rect} (x'/W)*\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)$

振幅は、この式のフーリエ変換によって次のように表されます。 ${\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\operatorname {rect} (x'/W)]{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)\right]\\&=a\operatorname {sinc} \left({\frac {W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}$

強度

強度は次のように表されます: ^{[ 34 ]} $I(\theta )\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}$

この図は、スリット幅がスリット間隔の1/5である20個のスリットを持つ回折格子の回折パターンを示しています。主要な回折ピークの大きさは、個々のスリットの回折パターンによって変化します。

その他の格子

上記のフーリエ変換法は、構造のフーリエ変換が既知である任意の周期構造の回折の形状を見つけるために使用できます。グッドマン^{[ 35 ]}はこの方法を使用して、正弦波振幅および位相変調格子で得られる回折パターンの式を導出しました。これらはホログラフィーで特に興味深いものです。

拡張機能

非標準照明

$開口部が方向(l 0 、 m 0 、 n 0)$ で入射する単色平面波によって照らされる場合、上記のフラウンホーファー方程式の最初のバージョンは次のようになります。^{[ 36 ]} ${\begin{aligned}U(x,y,z)&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}\left[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y'\right]}\,dx'\,dy'\\&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik\left[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y'\right]}\,dx'\,dy'\end{aligned}}$

上記の各システムをモデル化するために使用される方程式は、 $x$ と $y$ に掛けられる定数の変更によってのみ変更されるため、回折光パターンは次の形式になりますが、今度は入射平面波の方向を中心とするようになります。

回折格子の方程式は次のようになる^{[ 37 ]} $\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

非単色照明

上記のフラウンホーファー回折の例では、いずれも照射光の波長を長くすると回折構造のサイズが小さくなり、逆に波長を短くするとパターンのサイズが大きくなります。光が単色光ではなく、様々な波長から構成されている場合、それぞれの波長は隣接する波長とはわずかに異なるサイズのパターンに回折されます。波長のばらつきが平均波長よりもかなり小さい場合、個々のパターンのサイズはほとんど変化しないため、基本的な回折はコントラストがわずかに低下した状態で現れます。波長のばらつきが大きくなるにつれて、観察できる「干渉縞」の数は減少します。

参考文献

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[8] ヘクト、2002 年、p. 540、等式(11.67)

[9] Born & Wolf 1999 、p. 439、セクション 8.5.2、式 (6–8)

[10] アブラモヴィッツとステガン 1965 年、p. 360、セクション9.1.21

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[14] ヘクト、ユージン( 2017)。「10.2.4 長方形開口」。光学（第5版）。ピアソン。pp. 483–488。ISBN 978-1-292-09693-3。

[15] ロングハースト 1967 、p.217

[16] Goodman 2005 、p. 76、式(4.28)

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[18] ヘクト、2002 年、p. 469、等式 (10.56)

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[21] Hecht 2002 、p. 543、図（11.33）

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[31] Born & Wolf 1999 、p. 448、式(5a)

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[33] ヘクト 2002 、p. 543、「配列定理」

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[35] Goodman 2005 、p. 78、セクション4.4.3および4.4.4

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[37] Born & Wolf 1999 、p. 449、式(8)

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]である。

[ 8 ]

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[

[

[

[ 17 ]を用いると

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

意味

デカルト座標系において

極座標では

例

細長い長方形のスリット

統合による解決策

フーリエ変換解

強度

開口部

長方形の開口部

円形の開口部

統合による解決策

フーリエ・ベッセル変換を用いた解法

強度

回折パターンの形状

ガウス分布形状の開口部

フーリエ・ベッセル変換を用いた解法

強度

スリット

2つのスリット

狭いスリット

統合による解決策

フーリエ変換を用いた解法

強度

有限幅のスリット

統合による解決策

フーリエ変換を用いた解法

強度

格子

狭スリット格子

統合による解決策

フーリエ変換を用いた解法

強度

有限幅スリット格子

統合を用いた解決策

フーリエ変換を用いた解法

強度

その他の格子

拡張機能

非標準照明

非単色照明

関連項目

参考文献

関連するトピック

光学

レンズの

焦点面で観察される場合の両方において、波の

回折を