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数学において、平坦位相は代数幾何学で使用されるグロタンディーク位相です。これは平坦コホモロジーの理論を定義するために使用され、降下理論（忠実に平坦降下）においても基本的な役割を果たします。[ 1 ]ここでの「平坦」という用語は、平坦モジュールに由来します。
わずかに異なるフラット位相がいくつかあり、最も一般的なのはfppf 位相とfpqc 位相です。fppf はfidèlement plate de présentation finieの略で、この位相では、アフィン スキームの射は、忠実にフラットで有限表示である場合に被覆射となります。fpqc はfidèlement plate et quasi-compacteの略で、この位相では、アフィン スキームの射は、忠実にフラットで準コンパクト射である場合に被覆射となります。どちらのカテゴリでも、被覆族は、ザリスキ開部分集合の被覆となる族として定義されます。[ 2 ] fpqc 位相では、忠実にフラットで準コンパクト射は被覆となります。[ 3 ]これらの位相は降下と 密接に関連しています。準コンパクト性や有限表示などの有限性条件を一切含まない「純粋な」忠実平坦位相は、準正準ではないためあまり使用されません。言い換えれば、表現可能な関手は層である必要はありません。
残念ながら、フラットトポロジーの用語は標準化されていません。一部の著者はプレトポロジーを「トポロジー」と呼んでおり、fppf や fpqc (プレ)トポロジーと呼ばれる、わずかに異なる複数のプレトポロジーが存在し、それらが同じトポロジーを与える場合もあります。
平坦コホモロジーは、1960年頃にグロタンディークによって導入された。[ 4 ]
X をアフィン スキームとする。Xのfppf カバーを、有限かつ全射な射の族として定義する。
各X はアフィンであり、各φ は平坦で有限表示である。これにより前位相が生成される。任意のXに対して、 Xの fppf カバーを族として定義する。
これは、基底をXの開アフィン部分スキームに変更した後の fppf カバーです。この前位相は、fppf 位相と呼ばれる位相を生成します。（これは、任意のXとX aから始めて、被覆族を平坦で有限表示の射の共同全射族とした場合に得られる位相とは異なります。）fppf 位相を持つスキームの圏をFppfと表記します。
Xの小さな fppf サイトは、ある被覆族の一部である固定射U → Xを持つスキームUを対象とする圏O ( X fppf ) です。(これは射が平坦で有限表示であることを意味するものではありません。) これらの射は、Xへの固定写像と互換性のあるスキームの射です。Xの大きな fppf サイトは、 Fppf/Xの圏、つまり fppf 位相で考えられた、 Xへの固定写像を持つスキームの圏です。
「Fppf」は「fidèlement plate de présentation finie」、つまり「忠実に平坦で有限表示」の略語です。平坦で有限表示の射のすべての全射族は、この位相の被覆族であるため、この名前が付けられています。fppfプレ位相の定義は、追加の準有限性条件によっても与えることができます。EGA IV 4の系 17.16.2 から、これによって同じ位相が得られることがわかります。
X をアフィン スキームとする。Xのfpqcカバーを、各X αがアフィンであり、各u αが平坦かつ準コンパクトであるような、有限かつ同時全射な射の族 { u α : X α → X } と定義する。これにより、プレトポロジーが生成される。任意のXに対して、 Xの fpqc カバーを、基底をXの開いたアフィン部分スキームに変更した後の fpqc カバーである族 { u α : X α → X } と定義する。このプレトポロジーは、fpqc トポロジーと呼ばれるトポロジーを生成する。（これは、任意のXとX αから始めて、被覆族を平坦な射の同時全射な族とした場合に得られるトポロジーとは異なる。） fpqc トポロジーを持つスキームの圏をFpqc と表記する。
Xの小さな fpqc サイトは、ある被覆族の一部である固定射U → Xを持つスキームUを対象とする圏O ( X fpqc ) である。射は、 Xへの固定写像と互換性のあるスキームの射である。Xの大きな fpqc サイトは、 Fpqc/X という圏、すなわち、 fpqc 位相で考えられた、 Xへの固定写像を持つスキームの圏である。
「Fpqc」は「fidèlement plate quasi-compacte」の略で、「忠実に平坦かつ準コンパクト」という意味です。平坦かつ準コンパクトな射の任意の全射族は、この位相の被覆族となるため、この名前が付けられました。
コホモロジー群を定義する手順は標準的なもので、コホモロジーはアーベル群の層の切断を取る関手の導来関手の列として定義されます。
このような群は多くの応用例があるものの、一般的には計算が容易ではなく、エタールコホモロジーなどの他の理論に帰着する場合を除いては計算が難しい。
次の例は、有限性条件のない「忠実に平坦な位相」がなぜうまく機能しないかを示しています。Xを代数的に閉じた体k上のアフィン直線とします。Xの各閉点xに対して、この点における局所環R xを考えることができます。これは、スペクトルに 1 つの閉点と 1 つの開点 (一般) を持つ離散付値環です。これらのスペクトルを、それらの開点を同一視することによって結合し、スキームYを得ます。Y からXへの自然な写像が存在します。アフィン直線Xは、忠実に平坦な位相において開集合である集合 Spec( R x ) で覆われており、これらの集合のそれぞれがYへの自然な写像を持ち、これらの写像は交差部分で同じです。しかし、 XとYの基礎となる空間は 位相が異なるため、これらを組み合わせてXからYへの写像を得ることはできません。