オープンブック分解

数学において、オープンブック分解（オープンブックかいぞく、または単にオープンブック）は、閉じた有向3次元多様体Mを、面（境界を持つ必要がある）の和集合と立体トーラスに分解することである。オープンブックは接触幾何学と関連があり、エマニュエル・ジルーの有名な定理（下記参照）は、接触幾何学が完全に位相的な観点から研究できることを示す。

定義。3次元多様体Mの オープンブック分解は、 ( B ,π)の ペアであり、

• B はM内の方向付けられたリンクであり、開いた本の綴じ方と呼ばれます。
• π: M  \  B  →  S ^{1 は}Bの補集合のファイバ化であり、各 θ ∈  S ¹に対してπ ^{−1 (θ) は}Bを境界とするコンパクト曲面 Σ ⊂ Mの内部となる 。曲面 Σ は「開いた本のページ」と呼ばれる。

これは、任意のmに対して、m次元多様体のオープンブック分解の特別なケースm = 3 です。

一般のmの定義も同様ですが、境界 (Σ, B) を持つ曲面が境界 ( P , ∂ P ) を持つ ( m  − 1) 多様体に置き換えられています。同様に、オープンブック分解はMの商空間へ の同相写像と考えることができます。 ここでf : P  →  Pは境界を保存する自己同相写像です。この商空間は相対写像トーラスと呼ばれます。^[1]$${\displaystyle P\times [0,1]/(x,t)\sim (x,s){\text{ }}x\in \partial P{\text{ および }}(x,0)\sim (f(x),1){\text{ }}x\in P}$$

Σ がn 個の境界成分を持つ有向コンパクト面であり、 φ: Σ → Σが境界付近の恒等写像である同相写像である場合、最初にマッピング トーラスΣ _φを形成することによってオープン ブックを構築できます。 φ は ∂Σ 上の恒等写像なので、 ∂Σ _{φ は}円の和集合、つまりトーラスの和集合上の自明な円束であり、境界成分ごとに 1 つのトーラスがあります。構築を完了するには、ソリッド トーラスを接着して境界トーラスを埋め、各円S ¹  × { p } ⊂  S ¹ ×∂ D ^{2 が}ページの境界と同一視されるようにします。この場合、バインディングは、任意に選ばれたq  ∈  D ^{2に対して、マッピング トーラスに接着された}n 個のソリッド トーラスのn個のコアS ¹ ×{q}のコレクションです。任意のオープン ブックをこの方法で構築できることが知られています。構築に使用される唯一の情報は表面と同相写像であるため、オープン ブックの別の定義は、構築が理解されている (Σ, φ) のペアだけです。簡単に言うと、オープン ブックは、各トーラスのコア円がファイバーの境界と平行になるように接着されたソリッド トーラスを持つマッピング トーラスです。

_{∂Σ φ}内の各トーラスは、綴じ目に平行な円で繊維化されており、各円はページの境界コンポーネントです。綴じ目の近傍にはローロデックスのような構造（つまり、 ∂Σ _{φに接着された固体トーラス）が想定されます。ローロデックスのページは開いた本のページに接続され、ローロデックスの中心は綴じ目です。したがって、} 「開いた本」という用語が使用されます。

エルマー・ヴィンケルンケンパーの1972年の定理によれば、m  > 6の場合、単連結なm次元多様体は、シグネチャが0である場合にのみオープンブック分解を持つ。1977年にテリー・ローソンは、 m  > 6の奇数の場合、すべてのm次元多様体はオープンブック分解を持つことを証明し、その結果は1979年にフランク・クインによって5次元多様体と境界付き多様体に拡張された。クインはまた、 m  > 6の偶数の場合、 m次元多様体は、非対称ウィット群の障害が0である場合にのみオープンブック分解を持つことを示した^。[1]

2002 年に、エマニュエル・ジルーは次のような結果を発表しました。

定理。Mをコンパクトな有向 3 次元多様体とします。このとき、同位体までのM上の有向接触構造の集合と、正の安定化までのMのオープンブック分解の集合の間には一対一の関係があります。

正の安定化は、 2次元の1ハンドルを追加してページを修正し、そのハンドルを正確に1回通過する曲線に沿って正のデーンツイストを追加してモノドロミーを修正することで構成されます。この定理に暗黙的に含まれるのは、新しいオープンブックが同じ接触3次元多様体を定義するということです。ジルーの結果は、特定のクラスの3次元多様体上の接触構造の分類など、接触トポロジーと呼ばれるようになった分野でいくつかのブレークスルーをもたらしました。大まかに言えば、接触構造は、バインディングから離れて、接触分布が共焦点を通じてページの接空間に同位体である場合に、オープンブックに対応します。接触面を滑らかにして（ほぼすべての場所で接触条件を維持しながら）、ページに接するようにすることを想像してください。

• エトニール、ジョン B.オープンブック分解と接触構造に関する講義、ArXiv
• ラニッキ、アンドリュー、 高次元結び目理論、シュプリンガー（1998）
• ラニッキ、アンドリュー、 多様体の自己同型のトーラスのマッピング、Springer Online Encyclopedia of Mathematics