フェルミエネルギー

フェルミエネルギーは量子力学の概念であり、通常は絶対零度における相互作用しないフェルミオンの量子系における最高占有単一粒子状態と最低占有単一粒子状態との間のエネルギー差を指す。フェルミ気体では最低占有状態は運動エネルギーがゼロであると見なされ、一方金属では最低占有状態は通常伝導帯の底部を意味すると見なされる。

「フェルミエネルギー」という用語は、異なるが密接に関連した概念であるフェルミ準位（電気化学ポテンシャルとも呼ばれる）を指すためによく使用されます。^{[注 1]} 少なくともこの記事で使用されているフェルミ準位とフェルミエネルギーには、いくつかの重要な違いがあります。

• フェルミエネルギーは絶対零度でのみ定義されますが、フェルミ準位は任意の温度で定義されます。
• フェルミエネルギーはエネルギー差（通常は運動エネルギーに対応）ですが、フェルミ準位は運動エネルギーと位置エネルギーを含む全エネルギー準位です。
• フェルミエネルギーは、相互作用しないフェルミオン（ポテンシャルエネルギーまたはバンドエッジが静的で明確に定義された量）に対してのみ定義できますが、フェルミ準位は、熱力学的平衡状態では、複雑に相互作用するシステムでも明確に定義されたままです。

絶対零度における金属のフェルミ準位は、最も高い占有単一粒子状態のエネルギーであるため、金属のフェルミエネルギーは、零温度におけるフェルミ準位と最も低い占有単一粒子状態との間のエネルギー差です。

量子力学では、フェルミオンと呼ばれる粒子のグループ(電子、陽子、中性子など)はパウリの排他原理に従います。これは、2 つのフェルミオンが同じ量子状態を占めることはできないというものです。相互作用しない理想的なフェルミ気体は単一粒子の定常状態として分析できるため、2 つのフェルミオンが同じ定常状態を占めることはできないと言えます。これらの定常状態は、通常、エネルギーが異なります。システム全体の基底状態を見つけるには、空のシステムから始めて、一度に 1 つずつ粒子を追加し、占有されていない定常状態を最低エネルギーで順次埋めていきます。すべての粒子が追加されると、フェルミエネルギーは最も占有されている状態の運動エネルギーになります。

その結果、フェルミガスを絶対零度近くまで冷却して可能な限りのエネルギーを抽出したとしても、フェルミ粒子は依然として高速で動き回っています。最も速い粒子は、フェルミエネルギーに等しい運動エネルギーに対応する速度で動いています。この速度はフェルミ速度として知られています。温度が関連するフェルミ温度を超えたときにのみ、粒子は絶対零度よりも大幅に速く動き始めます。

フェルミエネルギーは、金属や超伝導体の固体物理学において重要な概念です。また、低温ヘリウム（通常の流体と超流体の両方の^{3 He）などの}量子液体の物理学においても非常に重要な量であり、原子核物理学や、重力崩壊に対する白色矮星の安定性を理解する上で非常に重要です。

3次元、非相対論的、非相互作用の同一 スピン1 ⁄ 2フェルミオン集団のフェルミエネルギーは^[1] で与えられ、 ここでNは粒子数、m _0は各フェルミオンの静止質量、Vは系の体積、および縮小プランク定数である。 $${\displaystyle E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3},}$$${\displaystyle \hbar}$

自由電子モデルでは、金属中の電子はフェルミ気体を形成すると考えられる。金属中の伝導電子の数密度はおよそ10 ²⁸～ 10 ²⁹個/m ^{3の範囲で、これは通常の固体中の原子の典型的な密度でもある。この数密度は2 ～ 10}電子ボルトのオーダーのフェルミエネルギーを生み出す 。^[2]${\displaystyle N/V}$

白色矮星と呼ばれる恒星は、質量は太陽に匹敵しますが、半径は太陽の約 100 分の 1 です。密度が高いということは、電子が単一の原子核に束縛されておらず、縮退した電子ガスを形成していることを意味します。フェルミエネルギーは約 0.3 MeV です。

もう一つの典型的な例は、原子核内の核子です。原子核の半径は偏差を許容するため、フェルミエネルギーの典型的な値は通常 38  MeVと与えられます。

上記のフェルミエネルギーの定義を使用すると、さまざまな関連する量が役に立ちます。

フェルミ温度は次のように定義されます 。 ここではボルツマン定数、 はフェルミエネルギーです。フェルミ温度は、熱効果がフェルミ統計に関連する量子効果に匹敵する温度と考えることができます。^[3]金属のフェルミ温度は室温より数桁高いです。 $${\displaystyle T_{\text{F}}={\frac {E_{\text{F}}}{k_{\text{B}}}},}$$${\displaystyle k_{\text{B}}}$${\displaystyle E_{\text{F}}}$

この文脈で定義される他の量はフェルミ運動量 とフェルミ速度である。$${\displaystyle p_{\text{F}}={\sqrt {2m_{0}E_{\text{F}}}}}$$ $${\displaystyle v_{\text{F}}={\frac {p_{\text{F}}}{m_{0}}}.}$$

これらの量はそれぞれ、フェルミ面におけるフェルミオンの運動量と群速度です。

フェルミ運動量は次のようにも記述できます。 ここで、フェルミ波数ベクトルと呼ばれるものはフェルミ球の半径です。^[4]は電子密度です。 $${\displaystyle p_{\text{F}}=\hbar k_{\text{F}},}$$${\displaystyle k_{\text{F}}=(3\pi ^{2}n)^{1/3}}$ ${\displaystyle n}$

フェルミ面が非球面 の場合、これらの量は明確に定義されない可能性があります。

• フェルミ・ディラック統計:非ゼロ温度での相互作用しないフェルミオンの定常状態における電子の分布。
• フェルミ準位
• 準フェルミ準位

• クローマー、ハーバート、キッテル、チャールズ (1980)。熱物理学 (第 2 版)。WH フリーマン カンパニー。ISBN 978-0-7167-1088-2。