意味 原点を中心とした回転は、次の4つの実数a 、 b 、 c 、 dで表されます。
1 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1. {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.} 回転を適用すると、位置にある点x → {\displaystyle {\vec {x}}} [ 1 ]
x → ′ = （ 1 2 + b 2 − c 2 − d 2 2 （ b c − 1 d ） 2 （ b d + 1 c ） 2 （ b c + 1 d ） 1 2 + c 2 − b 2 − d 2 2 （ c d − 1 b ） 2 （ b d − 1 c ） 2 （ c d + 1 b ） 1 2 + d 2 − b 2 − c 2 ） x → 。 {\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.}
パラメータaは スカラー パラメータと呼ばれ、ω → = （ b 、 c 、 d ） {\displaystyle {\vec {\omega }}=(b,c,d)} ベクトル 表記では、ロドリゲス回転公式はコンパクトな形式をとります[ 2 ] [ 3 ]
x → ′ = x → + 2 1 （ ω → × x → ） + 2 （ ω → × （ ω → × x → ） ） {\displaystyle {\vec {x}}'={\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})+2\left({\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})\right)}
対称 パラメータ（a 、 b 、 c 、 d ） と（−a 、 −b 、 −c 、 −d ） は 同じ回転を表します。この対称性を除いて、4つのパラメータのどの組み合わせも、3次元空間における固有の回転を表します。
回転の構成 2つ の つの 回転のオイラーパラメータ を ( a1 , b1 , c1 , d1 ) と( a2 , b2 , c2 , d2 )とします。複合回転（回転1の後 の回転 2 ）
1 = 1 1 1 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 ; b = 1 1 b 2 + b 1 1 2 − c 1 d 2 + d 1 c 2 ; c = 1 1 c 2 + c 1 1 2 − d 1 b 2 + b 1 d 2 ; d = 1 1 d 2 + d 1 1 2 − b 1 c 2 + c 1 b 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{aligned}}} a² + b² + c² + d² = 1で ある。 オイラーの四平方の恒等式 で
回転角度と回転軸 3次元空間における任意の中心回転は、回転軸（単位ベクトル k → k x , k y , k z )φ
1 = コス φ 2 ; b = k x 罪 φ 2 ; c = k y 罪 φ 2 ; d = k z 罪 φ 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{整列}}} φを （−a 、 −b 、 −c 、 −d ） と は逆の値になります。これらは同じ回転を表しています。
特に、恒等変換（ゼロ回転、φ = 0（a 、b 、c 、d ） =（±1、 0、 0、 0） に対応します。任意の軸を中心とした 180 度の回転は、a = 0
リー群 SU(2)は、複素 2×2 行列で3次元回転を表すために使用できます。回転に対応するSU(2)行列は、オイラーパラメータで表すと次のようになります。
U = （ 1 − d 私 − c − b 私 c − b 私 1 + d 私 ） 。 {\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}.} これは合計として書くことができる
U = 1 （ 1 0 0 1 ） − 私 b （ 0 1 1 0 ） − 私 c （ 0 − 私 私 0 ） − 私 d （ 1 0 0 − 1 ） = 1 私 − 私 b σ x − 私 c σ y − 私 d σ z 、 {\displaystyle {\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-ib\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-ic\ {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-id\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&=a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z},\end{aligned}}} ここで、σ i はパウリ スピン行列 である。
回転は次のように与えられるX ′ ≡ （ x 1 ′ σ x + x 2 ′ σ y + x 3 ′ σ z ） = U X U † = （ 1 私 − 私 b σ x − 私 c σ y − 私 d σ z ） （ x 1 σ x + x 2 σ y + x 3 σ z ） （ 1 私 + 私 b σ x + 私 c σ y + 私 d σ z ） {\displaystyle X^{\prime }\equiv (x_{1}^{\prime }\sigma _{x}+x_{2}^{\prime }\sigma _{y}+x_{3}^{\prime }\sigma _{z})=U\;X\;U^{\dagger }=(a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z})(x_{1}\sigma _{x}+x_{2}\sigma _{y}+x_{3}\sigma _{z})(a\,I+ib\,\sigma _{x}+ic\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z})}
したがって、オイラーパラメータは、スピン群 Spin(3)の要素に対応する SU(2) 行列の実座標と虚座標であり、これは二重カバー写像によって直交群 SO(3)の回転に写像される。これにより、R 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}} リー群 SU(2)≈Spin(3)の唯一の3次元既約表現として。
行列の要素U {\displaystyle U} アーサー・ケイリー とフェリックス・クラインにちなんで、 ケイリー・ クライン・パラメータ として知られています。[ a ]
α = 1 − d 私 β = − c − b 私 γ = c − b 私 δ = 1 + d 私 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a-di&\beta &=-c-bi\\\gamma &=c-bi&\delta &=\ a+di\end{aligned}}} これらのパラメータに関して、オイラー・ロドリゲスの公式は次のように書くこともできます[ 4 ] [ 8 ] [ a ]
x → ′ = （ 1 2 （ α 2 − γ 2 + δ 2 − β 2 ） 1 2 私 （ γ 2 − α 2 + δ 2 − β 2 ） γ δ − α β 1 2 私 （ α 2 + γ 2 − β 2 − δ 2 ） 1 2 （ α 2 + γ 2 + β 2 + δ 2 ） − 私 （ α β + γ δ ） β δ − α γ 私 （ α γ + β δ ） α δ + β γ ） x → 。 {\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&{\frac {1}{2}}i(\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&\gamma \delta -\alpha \beta \\{\frac {1}{2}}i(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}-\delta ^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}+\beta ^{2}+\delta ^{2})&-i(\alpha \beta +\gamma \delta )\\\beta \delta -\alpha \gamma &i(\alpha \gamma +\beta \delta )&\alpha \delta +\beta \gamma \end{pmatrix}}{\vec {x}}.} クラインとアーノルド・ゾンマーフェルトは、 ジャイロスコープ のダイナミクスの議論において、メビウス変換 と交差 比に関連してこれらのパラメータを幅広く使用した。[ 5 ] [ 9 ]
さらに読む カルタン、エリー (1981)。スピノールの理論 。ドーバー。ISBN 0-486-64070-1 。ハミルトン、WR （1899）。『四元数の基礎 』ケンブリッジ大学出版局。Haug, EJ (1984).機械システムダイナミクスのコンピュータ支援解析と最適化 . Springer-Verlag. ガルザ、エドゥアルド。パチェコ・キンタニーリャ、メイン州（2011 年 6 月）。「ベンジャミン・オリンデ・ロドリゲス、マテマティコとフィラントロポ、メキシコのフィシカに大きな影響を与えた」。Revista Mexicana de Física E (スペイン語): 109–113 . Shuster, Malcolm D. (1993). 「姿勢表現の概観」(PDF) . Journal of the Astronautical Sciences . 41 (4): 439– 517. Dai, Jian S. (2015 年 10 月). 「オイラー–ロドリゲスの公式のバリエーション、四元数の共役、および固有のつながり」 .メカニズムと機械理論 . 92 : 144– 152. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 .
参考文献 ↑ 例：フェリックス・クライン （1897）『コマの数学理論』 ニューヨーク：スクリブナー、 4ページ ↑ Valdenebro, Angel G. (2016). "ロドリゲスベクトルによる回転と回転の合成の可視化". Eur. J. Phys . 37 (6) 065001. arXiv : 1607.05999 . doi : 10.1088/0143-0807/37/6/065001 . ↑ Siminovitch, David J. (1997). "NMRにおける回転：パートI. オイラー・ロドリゲスパラメータと四元数". Concep. Magn. Res . 9 (3): 117– 193. doi : 10.1002/(SICI)1099-0534(1997)9:3 < 149::AID-CMR3 > 3.0.CO ; 2-Z . 1 2 Goldstein, H. (1980), "The Cayley-Klein Parameters and Related Quantities". §4-5 in Classical Mechanics 1 2 E. Pennestrì、PP Valentini、G. Figliolini、J. Angeles (2016)、「双対ケイリー・クラインパラメータとメビウス変換：理論と応用」、 Mechanism and Machine Theory 106 (1月) : 50-67。doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2016.08.008。PDFはResearchGate 経由で入手可能。 ↑ 櫻井、JJ ; ナポリターノ、ジム (2020). 現代量子力学 (第 3 版). ケンブリッジ. ISBN 978-1-108-47322-4 OCLC 1202949320。 {{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)↑ Altmann, S. (1986), Rotations, Quaternions and Double Groups . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-855372-2 ↑ Weisstein, Eric W. 、「Cayley-Klein Parameters」、 MathWorld ↑ Felix Klein とArnold Sommerfeld 、『Über die Theorie des Kreisels 』、第 1 巻 (Teubner、1897)。翻訳 (2008 年): The Theory of the Top 、vol 1。ボストン: ビルクハウザー。 ISBN 0817647201
