オイラー・マクローリンの公式

数学 において、オイラー・マクローリンの公式は、積分と密接に関連する和の差を表す公式です。この公式は、積分を有限和で近似したり、逆に積分と微積分の仕組みを使って有限和と無限級数を評価したりするために使用できます。たとえば、この公式から多くの漸近展開が導かれ、また、べき乗の和に関する ファウルハーバーの公式もすぐに導き出されます。

この公式は、1735年頃にレオンハルト・オイラーとコリン・マクローリンによって独立に発見されました。オイラーはゆっくり収束する無限級数を計算するためにこの公式を必要とし、マクローリンは積分の計算にこの公式を使用しました。この公式は後にダルブーの公式に一般化されました。

mとn が自然数で、f ( x ) が区間[ m , n ]内の実数xに対する実数値または複素数値の連続関数である場合、積分は 和で近似できます (またはその逆) (長方形法を参照)。オイラー・マクローリンの公式は、区間の端点で評価された高次導関数f ^{( k )} ( x ) 、つまりx = mおよびx = nによって、和と積分の差を表す式を提供します。 $${\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx}$$$${\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}$$

明示的には、正の整数pと区間[ m , n ]上でp回連続微分可能な関数f ( x )に対して、次の式が得られます。 ここで、B _kはk番目のベルヌーイ数です（B ₁ = ⁠$${\displaystyle SI=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},}$$1/2⁠ ) であり、 R _{p は}n、 m、 p、およびfに依存する誤差項であり、 pが適切な値であれば通常は小さくなります。

この式は、 B ₁を除いて奇数のベルヌーイ数はゼロなので、添え字が偶数値のみを取るように書かれることが多い。この場合、^{[1] [2]} となる。 あるいは、 $${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p},}$$$${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p}.}$$

剰余項は、積分が通常、合計と正確に等しくないために生じます。式は、連続する区間[ r、r + 1]（r = m、m + 1、 …、n − 1 ）に部分積分を繰り返し適用することで導出できます。これらの積分の境界項が式の主な項となり、残りの積分が剰余項を形成します。

剰余項は、周期化されたベルヌーイ関数P _k ( x )によって正確に表現されます。ベルヌーイ多項式は、B ₀ ( x ) = 1によって再帰的に定義され、k ≥ 1に対して、 周期化されたベルヌーイ関数は次のように定義されます 。 ここで、 ⌊ x ⌋ はx以下の最大の整数を表し、x − ⌊ x ⌋ は常に区間[0,1)内にあります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )},}$$

この表記法では、剰余項R _pは $${\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}$$

k > 0のとき、 0 ≤ x ≤ 1に対して となることが示されます。 ここでζ はリーマンゼータ関数 を表します。この不等式を証明する1つの方法は、多項式B _k ( x )のフーリエ級数を求めることです。この境界は、 xがゼロのとき、偶数kに対して得られます。 ζ ( k )項は奇数kに対して省略できますが、この場合の証明はより複雑になります (Lehmer を参照)。^[3]この不等式を使用すると、剰余項のサイズは次のように推定できます。 $${\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k), }$$$${\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}$$

B _1からB ₇までのベルヌーイ数は⁠1/2⁠、⁠1/6⁠ , 0, − ⁠1/30⁠ , 0, ⁠1/42⁠ , 0。したがって、オイラー・マクローリン公式の低次のケースは次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}$$

バーゼル問題は、 $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

オイラーは1735年にオイラー・マクローリン公式のいくつかの項のみを使ってこの合計を小数点20桁まで計算した。これにより彼はおそらく合計が次のようになると確信したのだろう。π ²/6⁠、彼は同年にそれを証明した。 ^[4]

fが多項式でpが十分に大きい場合、剰余項は消えます。たとえば、f ( x ) = x ^{3の場合、} p = 2 を選択して簡略化すると、 次の式が得られます。$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$$

この式は有限積分を近似する手段を提供します。積分区間の端点をa < bとします。近似に使用する点の数Nを固定し、対応するステップサイズをh = ⁠で表します。b − a/1は⁠ . x _i = a + ( i − 1) hと設定し、 x ₁ = aかつx _N = bとする。すると、次のようになる。 ^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}$$

これは、補正項を含めた台形則の拡張と見なすことができます。この漸近展開は通常収束しないことに注意してください。fとhに応じてpが存在するため、 pの次数を超える項は急速に増加します。したがって、剰余項は一般に細心の注意が必要です。^[5]

オイラー・マクローリンの公式は、数値積分法における詳細な誤差解析にも使用されます。これは、滑らかな周期関数における台形則の優れた性能を説明し、特定の外挿法で使用されます。クレンショウ・カーティス積分法は、本質的には、任意の積分を周期関数の積分で表す変数変換であり、オイラー・マクローリンのアプローチは非常に正確です (その特定のケースでは、オイラー・マクローリンの公式は離散コサイン変換の形をとります)。この手法は、周期化変換として知られています。

和や級数の漸近展開を計算する文脈では、通常、オイラー・マクローリン公式の最も有用な形式は次の通りである。 $${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$$

ここで、aとbは整数である。^{[6]多くの場合、} a → −∞またはb → +∞ 、あるいはその両方の極限をとった後でも、展開は有効である。多くの場合、右辺の積分は、左辺の和ができないとしても、基本関数で閉じた形で評価できる。すると、漸近級数のすべての項は基本関数で表現できる。例えば、 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$$

ここで左辺はψ ⁽¹⁾ ( z )に等しく、すなわち、次式で定義される 1次ポリガンマ関数である。

${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z);}$

ガンマ関数 Γ( z )は、 zが正の整数のとき、( z −1)に等しい。これにより、 ψ ⁽¹⁾ ( z )の漸近展開が得られる。この展開は、階乗関数のスターリング近似の正確な誤差推定値の導出の出発点となる。

sが 1 より大きい整数の 場合、次のようになります。$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}$$

定数をリーマンゼータ関数の値に集めると、漸近展開を書くことができます。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}$$

sが2の 場合には、これは 次の ように簡略化される。$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}$$

s = 1のとき、対応する手法により調和数の漸近展開が得られます。 ここで、γ ≈ 0.5772...はオイラー・マスケローニ定数です。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}$$

^{アポストル[1]}で示された議論を概説する。

ベルヌーイ多項式 Bn ( x )と周期ベルヌーイ関数Pn ₍ x ) ( n =0,1,2,...)は_上記で紹介しました。

最初のいくつかのベルヌーイ多項式は $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

B _n (1) の値はベルヌーイ数 B _nである。n ≠ 1の場合は次の式が成り立ち 、n = 1の場合は次の式が成り立つことに注意する。 $${\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}$$$${\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}$$

関数P _{n は}区間[0, 1]上のベルヌーイ多項式と一致し 、周期1で周期的である。さらに、 n = 1の場合を除き、連続的でもある。したがって、 $${\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}$$

kを整数とし、 次の積分を考える。 $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}$$

部分積分すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

B ₁ (0) = − ⁠ を用いる1/2⁠、 B ₁ (1) = ⁠1/2⁠、そして上記をk = 0からk = n − 1まで、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

追加中⁠f ( n ) − f (0) の式/2⁠両側に並び替えると、 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$$

これは総和公式のp = 1の場合です。帰納法を続けるために、誤差項に部分積分を適用します。 ここで $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}$$

部分積分の結果は $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

k = 0からk = n − 1までを合計し、これを低次の誤差項に代入すると、式の p = 2の場合の結果が得られる。$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$$

このプロセスは反復することができます。このようにして、数学的帰納法によって形式化できるオイラー・マクローリンの和公式の証明が得られます。この帰納法のステップは、部分積分と周期ベルヌーイ関数の恒等式に依存します。

• チェザロ総括
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• ガウス・クロンロッド積分公式
• ダルブーの公式
• オイラー・ブール和

• ワイスタイン、エリック W.「オイラー・マクローリン積分公式」。マスワールド。