ディッキー・フラー検定

統計学において、ディッキー・フラー検定は、自己回帰（AR）時系列モデルに単位根が存在するという帰無仮説を検定する。対立仮説は、使用する検定のバージョンによって異なるが、通常は定常性またはトレンド定常性である。この検定は、 1979年にこれを開発した統計学者のデイビッド・ディッキーとウェイン・フラーにちなんで名付けられた。^{[ 1 ]}

シンプルなARモデルは

${\displaystyle y_{t}=\rho y_{t-1}+u_{t}\,}$

どこ$\displaystyle y_t}}$は関心のある変数です。${\displaystyle t}$は時間インデックスです。${\displaystyle \rho }$は係数であり、$u_t$は誤差項（白色雑音と仮定）です。単位根が存在するのは、${\displaystyle \rho =1}$この場合、モデルは非定常となる。

回帰モデルは次のように記述できます。

${\displaystyle \Delta y_{t}=(\rho -1)y_{t-1}+u_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

どこ${\displaystyle \Delta }$は最初の差分演算子であり、${\displaystyle \delta \equiv \rho -1}$このモデルは推定可能であり、単位根の検定は、${\displaystyle \delta =0}$生データではなく残差項に対して検定が行われるため、標準的なt分布を使用して臨界値を求めることはできません。したがって、この統計量は${\displaystyle t}$特定の分布があり、それは単にディッキー・フラー表として知られています。

このテストには主に3つのバージョンがあります。

1. 単位根の検定：

${\displaystyle \Delta y_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

2. 定数項を含む単位根の検定：

${\displaystyle \Delta y_{t}=a_{0}+\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

3. 一定かつ決定論的な時間トレンドを持つ単位根の検定：

${\displaystyle \Delta y_{t}=a_{0}+a_{1}t+\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

各バージョンの検定には、サンプルサイズに応じて異なる臨界値があります。いずれの場合も、帰無仮説は単位根が存在することです。${\displaystyle \delta =0}$これらの検定は統計的検出力が低く、真の単位根過程を区別できないことが多い（${\displaystyle \delta =0}$）および単位根に近いプロセス（${\displaystyle \delta }$（ゼロに近い）。これは「近似観測等価性」問題と呼ばれます。

このテストの背後にある直感は次のとおりです。もしシリーズが${\displaystyle y}$系列が定常（またはトレンド定常）である場合、一定の（または決定論的にトレンドのある）平均値に戻る傾向があります。したがって、大きな値の後には小さな値（負の変化）が続き、小さな値の後には大きな値（正の変化）が続く傾向があります。したがって、系列のレベルは次の期間の変化の重要な予測因子となり、負の係数を持ちます。一方、系列が積分系列である場合、正の変化と負の変化は、系列の現在のレベルに依存しない確率で発生します。ランダムウォークでは、現在いる場所が次に進む方向に影響を与えません。

注目すべきは、

${\displaystyle \Delta y_{t}=a_{0}+u_{t}\,}$

次のように書き換えることができます

${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{i=1}^{t}u_{i}+a_{0}t}$

決定論的な傾向は${\displaystyle a_{0}t}$そして、確率的切片項は${\displaystyle y_{0}+\sum _{i=1}^{t}u_{i}}$その結果、確率的傾向と呼ばれるものが生じる。^{[ 2 ]}

ディッキー・フラー検定（DF検定）には、拡張ディッキー・フラー検定（ADF検定）と呼ばれる拡張版もあり、時系列データにおける構造的効果（自己相関）をすべて除去してから、同じ手順で検定を行います。

3 つの主要なテストバージョンのどれを使用するかは、些細な問題ではありません。この決定は、単位根検定のサイズ (単位根が存在する場合に単位根の帰無仮説を棄却する確率) と単位根検定の検出力 (単位根が存在しない場合に単位根の帰無仮説を棄却する確率) に重要です。切片または決定論的時間トレンド項の不適切な除外は、δの係数推定値にバイアスをもたらし、単位根検定の実際のサイズが報告されたサイズと一致しないことになります。時間トレンド項が不適切に除外された場合、${\displaystyle a_{0}}$項が推定されると、ランダムウォーク・ウィズ・ドリフトモデルによってトレンドが捉えられる可能性があるため、単位根検定の検出力が大幅に低下する可能性があります。 ^{[ 3 ]}一方、切片または時間トレンド項を不適切に含めると、単位根検定の検出力が低下し、場合によってはその検出力の低下が著しくなることがあります。

切片と決定論的な時間トレンドを含めるべきかどうかについての事前知識の使用は、もちろん理想的ですが、常に可能とは限りません。そのような事前知識が利用できない場合、さまざまな検定戦略（順序付けられた一連の検定）が提案されています。たとえば、Dolado、Jenkinson、およびSosvilla-Rivero（1990）^{[ 4 ]} やEnders（2004）によって提案されており、多くの場合、自己相関を除去するためにADF拡張が使用されています。ElderとKennedy（2001）は、他の検定戦略で発生する可能性のある単位根の二重および三重検定を回避する単純な検定戦略を提示し、yの長期的な成長（または縮小）の存在の有無についての事前知識をどのように使用するかについて議論しています。^{[ 5 ]} HackerとHatemi-J（2010）は、これらの問題に関するシミュレーション結果を提供しており、 ^{[ 6 ]} Enders（2004）とElderとKennedy（2001）の単位根検定戦略をカバーするシミュレーションも含まれています。 Hacker (2010) ではシミュレーション結果が示されており、 Dickey–Fuller フレームワーク内で単位根とトレンドの状態を判断する際に、 Schwarz 情報基準などの情報基準を使用することが有用である可能性があることが示されています。^{[ 7 ]}

• KPSSテスト
• フィリップス・ペロン検定

• エンダース、ウォルター（ 2010）。応用計量経済学時系列分析（第3 版）。ニューヨーク：ワイリー。pp. 206–215。ISBN  978-0470-50539-7。
• 畑中道夫（1996）『時系列に基づく計量経済学：単位根と共和分』ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、48-49頁。ISBN  978-0-19-877353-5。

• 単位根検定の統計表– ディッキー・フラー表
• Excel を使ってディッキー・フラー検定を行う方法