拡張ディッキー・フラー検定

統計学において、拡張ディッキー・フラー検定（ADF）は、時系列サンプルに単位根が存在するという帰無仮説を検定します。対立仮説は、使用する検定のバージョンによって異なりますが、通常は定常性またはトレンド定常性です。これは、より大規模で複雑な時系列モデルに対応する、ディッキー・フラー検定の拡張版です。

検定で使用される拡張ディッキー・フラー（ADF）統計量は負の値です。負の値が大きいほど、ある信頼水準で単位根が存在するという仮説の棄却が強くなります。^{[ 1 ]}

ADF検定の手順はディッキー・フラー検定と同じですが、モデルに適用されます。

${\displaystyle \Delta y_{t}=\alpha +\beta t+\gamma y_{t-1}+\delta _{1}\Delta y_{t-1}+\cdots +\delta _{p-1}\Delta y_{t-p+1}+\varepsilon _{t},}$

どこ${\displaystyle \alpha }$定数です。${\displaystyle \beta }$時間的傾向の係数と${\displaystyle p}$自己回帰過程のラグ次数。制約を課す${\displaystyle \alpha =0}$そして${\displaystyle \beta =0}$ランダムウォークをモデル化し、制約を使用する${\displaystyle \beta =0}$これは、ドリフトを伴うランダムウォークのモデル化に相当します。したがって、この検定には、ディッキー・フラー検定と同様に、主に3つのバージョンがあります。（切片項と決定論的な時間トレンド項を検定式に含めることに関する不確実性への対処については、その記事を参照してください。）

ADF定式化では、次数pのラグを含めることで、高次の自己回帰過程を扱うことができます。つまり、検定を行うにはラグ長pを決定する必要があります。その方法の一つは、高次から順に検定を行い、係数のt値を調べることです。別の方法としては、赤池情報量規準、ベイズ情報量規準、またはハナン・クイン情報量規準などの情報量規準を調べる方法があります。

次に、帰無仮説の下で単位根検定を実施する。${\displaystyle \gamma =0}$対立仮説に対して${\displaystyle \gamma <0.}$検定統計量の値が一度

${\displaystyle \mathrm {DF} _{\tau }={\frac {\hat {\gamma }}{\operatorname {SE} ({\hat {\gamma }})}}}$

計算された値は、ディッキー・フラー検定の関連する臨界値と比較できます。この検定は非対称であるため、検定統計量の負の値のみを考慮します。${\displaystyle \mathrm {DF} _{\タウ }}$計算された検定統計量が臨界値よりも小さい（より負の値である）場合、帰無仮説は${\displaystyle \gamma =0}$棄却され、単位根は存在しない。

このテストの背後にある直感は、系列が単位根過程によって特徴付けられる場合、系列のラグレベル（$\displaystyle y_{t-1}}$）は、$\displaystyle y_t}}$遅延変化で得られたものに加えて（$\displaystyle \Delta y_{tk}}$この場合、${\displaystyle \gamma =0}$そして、帰無仮説は棄却されません。一方、プロセスに単位根がない場合、それは定常であり、したがって平均への回帰を示します。そのため、ラグレベルは系列の変化を予測する上で関連情報を提供し、単位根の帰無仮説は棄却されます。

定数と時間トレンドを含むモデルは、50個の観測値のサンプルを使用して推定され、${\displaystyle \mathrm {DF} _{\タウ }}$統計値は-4.57です。これは表に示された臨界値-3.50よりも負の値であるため、95%の有意水準で単位根の帰無仮説は棄却されます。

代替的な単位根検定としては、フィリップス・ペロン検定（PP）や、エリオット、ローゼンバーグ、ストック（1996）によって開発されたADF-GLS検定手順（ERS）などがある。 ^{[ 3 ]}

• R：
  • パッケージforecast関数ndiffs^{[ 4 ]}は、複数の一般的な単位根検定を処理します。
  • パッケージtseries 関数adf.test^{[ 5 ]}
  • パッケージfUnitRoots関数adfTest^{[ 6 ]}
  • パッケージurca関数ur.df ^{[ 7 ]}
• グレトル^{[ 8 ]}
• Matlab
  • 計量経済学ツールボックス^{[ 9 ]}関数adfTest^{[ 10 ]}
  • 空間計量経済学ツールボックス^{[ 11 ]}（無料）
• SAS PROC ARIMA^{[ 12 ]}
• Stataコマンドdfuller^{[ 13 ]}
• EViews Unit Root Test^[ 14 ^{] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]​}
• Python
  • パッケージstatsmodels^{[ 18 ]}関数adfuller
  • パッケージARCH^{[ 19 ]}
• JavaプロジェクトSuanShu^{[ 20 ]}パッケージcom.numericalmethod.suanshu.stats.test.timeseries.adfクラスAugmentedDickeyFuller
• JuliaパッケージHypothesisTests^{[ 21 ]}関数ADFTest

• クヴィアトコフスキー・フィリップス・シュミット・シン（KPSS）検定

• Greene, WH (2002).計量経済分析（第5 版）. ニュージャージー州: Prentice Hall. ISBN 0-13-066189-9。
• Said, SE; Dickey, DA (1984). "未知の次数を持つ自己回帰移動平均モデルにおける単位根の検定". Biometrika . 71 (3): 599–607 . doi : 10.1093/biomet/71.3.599 .