エイゼンシュテインの基準

数学において、アイゼンシュタインの基準は、整数係数を持つ多項式が有理数体上で既約であるための十分条件、すなわち、有理係数を持つ非定数多項式の積に因数分解できないための十分条件を与える。

この基準は、有理数体上で既約な整数係数多項式すべてに適用できるわけではありませんが、重要な場合においては、既約性を非常に少ない労力で証明することを可能にします。この基準は、直接適用することも、元の多項式を変換した後に適用することもできます。

この基準はゴットホルト・アイゼンシュタインにちなんで名付けられました。20世紀初頭には、テオドール・シェーネマンが最初に発表したため、シェーネマン・アイゼンシュタインの定理としても知られていました。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

整数係数を持つ以下の多項式があると仮定します。 $${\displaystyle Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.}$$

以下の3つの条件がすべて満たされるような素数pが存在する場合：

• p は0 ≤ i < nの各a _iを分割します。
• p_はnを割り切らず、
• p ^2は₀を割り切れません。

すると、Qは有理数体上で既約になります。また、すべての係数に共通の非自明な因数がない限り、整数体上でも既約になります（この場合、整数多項式としてのQ は、 pとは必然的に異なる素数を既約因子として持ちます）。後者の可能性は、まずQ を その係数の最大公約数（ Qの内容）で割って原始化することで回避できます。この除算は、 Q が有理数体上で既約であるかどうかを変えません（詳細は「原始部分-内容分解」を参照）。また、 pの判定条件の仮説を無効にすることもありません（逆に、除算前は成り立たなかった素数に対して判定条件が成り立つようになる可能性もあります）。

アイゼンシュタインの基準は、直接適用する場合（つまり、元の多項式を用いる場合）と、元の多項式を変換した後に適用する場合のどちらでも適用できる。

テオドール・シェーネマンは、1846年にクレレの雑誌^{[ 3 ]}にこの基準の初版を発表した^{[ 1 ]。}翻訳すると次のようになる。

( x − a ) ⁿ + pF ( x )は、F ( x )の法pへの変換に因子x − aが含まれていない場合、法p ²に既約になります。

この定式化は既に0の代わりにaへのシフトを組み込んでいます。F ( x )の条件は、F ( a )がpで割り切れないことを意味し、したがってpF ( a )はpで割り切れますがp ²では割り切れません。前述のとおり、多項式F ( x )の次数について何の仮定もしていないため、考慮される多項式は、その式が示唆する次数nである必要はありません。例x ² + p ( x ³ + 1) ≡ ( x ² + p )( px + 1) mod p ^{2 は}、このような仮定なしでは結論が有効ではないことを示しています。F ( x )の次数がn を超えないと仮定すると、この基準は正しく、上記の定式化よりもいくらか強力です。なぜなら、( x − a ) ⁿ + pF ( x )が法p ^{2で既約であれば、} Z [ x ]で非定数因子に分解することは確かにできないからです。 

その後、エイゼンシュテインは1850年に、同じくクレレの雑誌にやや異なるバージョンを発表した。^{[ 4 ]}このバージョンは翻訳すると次のようになる。

任意の次数のxに関する多項式F ( x )において、最高次の項の係数が1であり、それに続くすべての係数が整数 (実数、複素数) であり、ある (実数または複素数の) 素数mで割り切れる場合、さらに最後の係数がεmに等しい場合( ε はmで割り切れない数を表す)、 F ( x )を次の形式に変換することは不可能である。$${\displaystyle \left(x^{\mu }+a_{1}x^{\mu -1}+\cdots +a_{\mu }\right)\left(x^{\nu }+b_{1}x^{\nu -1}+\cdots +b_{\nu }\right)}$$ここで、 μ、ν ≥ 1、μ + ν = deg( F ( x ))であり、すべてのaとbは整数(それぞれ実数または複素数)です。したがって、方程式F ( x ) = 0は既約です。

ここでいう「実数全体」とは通常の整数、「複素数全体」とはガウス整数を指します。同様に「実数および複素数の素数」も解釈する必要があります。アイゼンシュタインがこの基準を開発した応用例は、レムニスケートを等しい弧長の断片に分割する研究において生じる、ガウス整数を係数とする特定の多項式の既約性を確立することでした。

驚くべきことに、シェーネマンとアイゼンシュタインは、それぞれ既約性の基準を定式化すると、すぐにそれを適用して、素数の円分多項式の既約性を初等的に証明している。これは、ガウスが『算術研究』の中で、はるかに複雑な証明を用いて得た結果である。実際、アイゼンシュタインは脚注で、ガウスの証明を除けば、この既約性に関する唯一の証明は、 1845年にクロネッカーが示したものだと付け加えている。これは、彼がシェーネマンが1846年の論文で示したこの主張の2つの異なる証明を知らなかったことを示している。その2番目の証明は、前述の基準に基づいていた。さらに驚くべきことに、アイゼンシュタインは2ページ後には、（別の件で）シェーネマンの論文の最初の部分に言及しているのである。次号の雑誌に掲載されたメモ（「Notiz」）^{[ 5 ]}の中で、シェーネマンはアイゼンシュタインにこの点を指摘し、アイゼンシュタインの方法は、彼が2番目の証明で使用した方法と本質的に違いはないと述べている。

基準の妥当性を証明するために、Q が素数pの基準を満たすが、それでもQ [ x ]で還元可能であると仮定し、そこから矛盾を得たい。ガウスの補題から、 QはZ [ x ]でも還元可能であり、実際には2 つの非定数多項式G、Hの積Q = GHとして書けることがわかる ( Qが原始的でない場合は、原始多項式Q / c (整数cはQの内容) に補題を適用してその分解を得て、c をいずれかの因子に掛けてQの分解を得る)。ここで、Q = GHを法pで還元して、 ( Z / p Z )[ x ]の分解を得る。しかし、仮定により、Qのこの還元では、非ゼロ定数a ∈ Z / p Zの形式のax ⁿという主項が唯一の非ゼロ項として残ります。しかし、必然的に、GとHのpによる還元では、すべての非主項も消滅します (主項を消滅させることはできません)。なぜなら、一意の因数分解領域である( Z / p Z )[ x ]では、ax ⁿの他の分解は不可能だからです。特に、GとHの定数項は還元で消滅するため、 pで割り切れますが、その積であるQの定数項はp ²で割り切れるため、仮定に反し、矛盾が生じます。

アイゼンシュタインの判定条件の2つ目の証明も、多項式Q ( x )が可約であるという仮定から始まる。この仮定は矛盾を招くことが示される。

という仮定 $${\displaystyle Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$$ 還元可能であるとは、多項式が存在することを意味する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)&=c_{r}x^{r}+c_{r-1}x^{r-1}+\cdots +c_{0}&&r\geq 1\\H(x)&=d_{s}x^{s}+d_{s-1}x^{s-1}+\cdots +d_{0}&&s\geq 1\end{aligned}}}$$ そのため $${\displaystyle Q(x)=G(x)\cdot H(x),\qquad n=r+s.}$$多項式Q ( x )の 係数a₀_は素数pで割り切れるがp²では_割り切れない。a₀ = c₀d₀なので、 c₀またはd₀^はpで割り切れるが、両方で割り切れることは_{ない。一般性を失うことなく}、_次のように進めることができる_。

• pで割り切れる係数c0を持ち_、
• 係数d ₀はpで割り切れない。

仮定により、${\displaystyle p}$割り切れない${\displaystyle a_{n}}$a _n = c _r d _sなので、c _rもd _sもpで割り切れません。したがって、${\displaystyle a_{r}}$は${\displaystyle r}$可約多項式の 番目の係数${\displaystyle Q}$すると（おそらく$d_t=0$万一に備えて${\displaystyle t>s}$） $${\displaystyle a_{r}=c_{r}d_{0}+c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}}$$ その中に${\displaystyle c_{r}d_{0}}$割り切れない${\displaystyle p}$どちらも$d0$または${\displaystyle c_{r}}$で割ることができます${\displaystyle p}$。

私たちはそれを証明する${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{r-1}}$すべてpで割り切れる。${\displaystyle a_{r}}$はpで割り切れる（基準の仮定による）ので、これは次のことを意味する。 $${\displaystyle c_{r}d_{0}=a_{r}-\left(c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}\right)}$$はp で割り切れる。これは矛盾であり、基準を証明する。

分割することが可能です${\displaystyle c_{0}d_{r}}$による${\displaystyle p}$、 なぜなら${\displaystyle c_{0}}$で割ることができます${\displaystyle p}$。

最初の仮定により、多項式Q ( x )の係数a ₁をpで割ることが可能です。 $${\displaystyle a_{1}=c_{0}d_{1}+c_{1}d_{0}}$$ また、d _{0 は}pの倍数ではないので、 c _{1 を}pで割ることが可能であるはずです。同様に、帰納法により、${\displaystyle c_{i}}$の倍数です${\displaystyle p}$すべての人々のために${\displaystyle i<r}$これで証明は完了です。

p進数体に対するニュートン多角形の理論をアイゼンシュタイン多項式に適用すると、点の下凸包を取ることになる。

ここで、v _iはa _iのp進評価(つまり、それを割り切るpの最高次数)です。0 < i < nのv _iについて与えられたデータ、つまりそれらが少なくとも 1 つであるという事実は、下側の凸包が(0, 1)から( n , 0)までの単一の線分であり、その傾きが−1/ nであることを結論付けるために必要なものです。

これは、 Qの各根がp進付値1/ nを持ち、したがってQがp進体上で既約であることを示しています(例えば、根の真部分集合の積は整数付値を持たないため)。さらに、有理数体上ではなおさらです。

この議論は、mod pによる直接的な議論よりもはるかに複雑です。しかし、代数的整数論の観点から、変数変換後にアイゼンシュタインの基準がどのくらいの頻度で適用できるかを把握することができ、それによって、多項式がアイゼンシュタイン変換（つまり、 p番目の円分多項式の場合のように、加法的な変数変換後にアイゼンシュタインになる）を持つことができるpの選択肢を厳しく制限することができます。

実際、Qの根によって生成されるQの拡張で分岐する素数 のみが機能する可能性があります。これらはQの判別式で見つけることができます。たとえば、上記のx ² + x + 2の場合、判別式は−7なので、7だけが基準を満たす可能性があります。 mod 7では、 ( x − 3) ²になります。判別式が0 mod 7なので、重複根は避けられません。したがって、変数シフトは実際には予測可能なものです。

円分多項式の場合、次のようになります。

判別式は、線形代数的手法により、 （符号を除いて） p ^{p −2}であることが示される。

より正確には、多項式のアイゼンシュタイン素数となる可能性があるのは、完全に分岐した素数だけです。（二次体では、分岐は常に完全であるため、上記のx ² + x + 2のような二次の場合には区別されません。）実際、アイゼンシュタイン多項式は、次のように完全に分岐した素数と直接結びついています。有理数の体拡大が、 pでアイゼンシュタインである多項式の根によって生成される場合、pはその拡大において完全に分岐しており、逆に、p が数体で完全に分岐している場合、その体はpでアイゼンシュタイン多項式の根によって生成されます。^{[ 6 ]}

• コーンの還元不可能性基準
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