ディクシット・スティグリッツモデル

ディクシット＝スティグリッツ・モデルは、アビナシュ・ディクシットとジョセフ・スティグリッツ（1977）によって開発された独占的競争のモデルである。 ^{[ 1 ]}このモデルは、マクロ経済学、経済地理学、国際貿易理論など、経済学の多くの分野で使用されている。このモデルは、 CES関数を使用して、消費者の製品多様性に対する選好を形式化している。多様性選好を考慮したモデルを提供しようとした以前の試み（ハロルド・ホテリングの立地モデルなど）は間接的であり、容易に解釈でき、さらに研究に利用できる形式を提供できなかった。ディクシット＝スティグリッツ・モデルでは、多様性選好は単調選好の仮定に内在している。なぜなら、そのような選好を持つ消費者は、極端な2つの財の組み合わせではなく、平均的なものを好むからである。

このモデルは、標準的なCESユーティリティ関数から始まります。

${\displaystyle u=\left[\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right]^{\​​frac {\sigma }{\sigma -1}}}$

ここで、N は利用可能な商品の数、x _iは商品 i の数量、σ は代替弾力性です。σ > 1 という制約を設けることで、選好は凸となり、任意の最適化範囲で単調になることが保証されます。さらに、すべてのCES関数は次数 1 の同次関数であり、したがって同次的な選好を表します。

さらに、消費者は以下のように定義された予算を設定している。

${\displaystyle B=\{{\boldsymbol {x}}:\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}\leq M\}}$

合理的な消費者にとっての目標は、外生的に設定される予算制約（M）の下で効用関数を最大化することです。このようなプロセスにより、消費者のマーシャル需要を計算することができます。数学的に言えば、これは消費者が以下のことを達成するように行動していることを意味します。

${\displaystyle \max \left\{u=\left[\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right]^{\​​frac {\sigma }{\sigma -1}}\right\}\ st.\ {\boldsymbol {x}}\in B}$

効用関数は基数ではなく順序尺度であるため、効用関数の単調変換はすべて同じ選好を表します。したがって、上記の制約付き最適化問題は、次の問題と類似しています。

${\displaystyle \max \left\{u=\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right\}\ st.\ {\boldsymbol {x}}\in B}$

以来${\displaystyle f(u)=u^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$増加傾向にある。

ラグランジュ乗数法を用いることで、上記の主問題を以下の双対問題に変換することができる（双対性を参照）。

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}-\lambda \left[\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}-M\right]}$

2つの財 x _iと x _jの一次条件を取ると、

${\displaystyle \nabla x_{i}={\frac {\sigma -1}{\sigma }}x_{i}^{-{\frac {1}{\sigma }}}-\lambda p_{i}=0}$

${\displaystyle \nabla x_{j}={\frac {\sigma -1}{\sigma }}x_{j}^{-{\frac {1}{\sigma }}}-\lambda p_{j}=0}$

分割方法:

${\displaystyle ({\frac {x_{i}}{x_{j}}})^{-{\frac {1}{\sigma }}}={\frac {p_{i}}{p_{j}}}}$

したがって、

${\displaystyle p_{j}x_{j}=p_{i}^{\sigma }x_{i}p_{j}^{1-\sigma }}$

左辺と右辺を「j」で合計し、${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}p_{j}x_{j}=M}$我々は持っています

${\displaystyle M=p_{i}^{\sigma }x_{i}P^{1-\sigma }}$

ここでPは価格指数であり、次のように表される。${\displaystyle P=(\sum _{j=1}^{N}p_{j}^{1-\sigma })^{\frac {1}{1-\sigma }}}$

したがって、マーシャル需要関数は次のようになる。

${\displaystyle x_{i}={\frac {M}{P}}({\frac {p_{i}}{P}})^{-\sigma }}$

独占的競争下では、財はほぼ完全な代替品であるため、価格は比較的近い値になる可能性が高い。したがって、${\displaystyle p_{i}=p}$我々は持っています：

${\displaystyle x_{i}^{m}(\mathbf {p} ,M)={\frac {M}{Np}}}$

このことから、間接効用関数は次の形式になることがわかる。

${\displaystyle v(\mathbf {p} ,x_{i}^{m})=\left(\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {M}{Np}}\right)^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}}$

したがって、

${\displaystyle v(\mathbf {p} ,x_{i}^{m})={\frac {M}{p}}N^{\frac {1}{\sigma -1}}}$

σ > 1 の場合、効用は N に対して厳密に増加することがわかります。これは、多様性、つまり提供される製品の数が増えるにつれて、消費者は厳密に良くなることを意味します。

導出は、アプローチに大きな違いなく、連続する多様体でも行うことができる。^{[ 2 ]}

• ブラクマン、スティーブン、ヘイドラ、ベン・J編（2001）。『独占的競争革命の回顧』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-81991-1。