ディスク（数学）

幾何学において、円板（discとも表記される ）^[1]は、円で囲まれた平面上の領域である。円板は、境界を構成する円を含む場合は閉じていると言われ、含まない場合は開いていると言われる。 ^[2]

半径 の場合、開円板は通常 と表記され、閉円板は と表記されます。ただし、位相幾何学の分野では、閉円板は通常 と表記され、開円板はと表記されます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle D_{r}}$${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle \operatorname {int} D^{2}}$

デカルト座標では、中心と半径Rの開いた円板は次の式で与えられる: ^[1]${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}‹R^{2}\}}$

一方、同じ中心と半径を持つ 閉じた円盤は次のように表されます。

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}\leq R^{2}\}.}$

半径Rの閉じた円板または開いた円板の面積はπ R ²である（円板の面積を参照）。^[3]

ディスクは円対称性を持つ。^[4]

開円板と閉円板は位相的に同値ではない（つまり同相ではない）。これは、両者が互いに異なる位相的性質を持っているためである。例えば、すべての閉円板はコンパクトであるのに対し、すべての開円板はコンパクトではない。^{[5]しかし、}代数的位相幾何学の観点からは、両者は多くの性質を共有している。すなわち、両者は収縮可能であり^[6]、したがって単一の点とホモトピー同値である。これは、それらの基本群が自明であり、ホモロジー群はすべて、 Zと同型である 0 番目を除いて自明であることを意味する。点のオイラー特性（したがって、閉円板または開円板のオイラー特性も）は 1 である。^[7]

閉円板からそれ自身への連続写像はどれも少なくとも1つの不動点を持つ（写像が全単射や全射である必要はない）。これはブラウワー不動点定理のn =2の場合である。^[8]この命題は開円板に対しては偽である。^[9]

例えば、 開単位円板上のすべての点を、その右隣の開単位円板上の別の点に写像する関数を考えてみましょう。しかし、閉単位円板の場合は、半円上のすべての点を固定します。${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

統計学では、単位円板上の一様分布に遭遇することがあります。最も一般的に見られるのは、都市計画の数学におけるオペレーションズ リサーチで、都市内の人口をモデル化するために使用されます。他の用途では、一様分布では、与えられた一連の線形不等式が満たされる確率を簡単に計算できるという事実が活用されることがあります (平面上のガウス分布には数値積分が必要です)。

「初等関数による巧妙な議論」は、円板上の2点間の平均ユークリッド距離が⁠ であることを示しています。128/45π⁠ ≈ 0.90541、 ^[10]極座標での直接積分では平均二乗距離は1となる。

円板の中心から距離qにある任意の位置が与えられた場合、分布上の点からこの位置までの平均距離b ( q )と、そのような距離の平均二乗を決定することも重要です。後者の値は、 q ² + ⁠として直接計算できます。1/2⁠ .

b ( q )を求めるには、位置が内部または外部、つまりq≶1の場合を別々に調べる必要があります。どちらの場合も、結果は完全な楕円積分でしか表現できないことがわかります。

内部位置を考えると、図を見ると、密度が⁠である分布の下でのrの期待値を計算することが目的です。1/π⁠ 0 ≤ r ≤ s (θ)の場合、セルの面積がr d r dθとなる固定位置を中心とした極座標で積分すると 、 $${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}$$

ここでs (θ) は余弦定理を用いてqとθに関して求めることができる。積分を評価するために必要な手順といくつかの参考文献は、Lew らの論文^[10]に記載されている。結果は次のようになる 。 ここでKとE は第 1 種および第 2 種の完全楕円積分である。^[11] b (0) = ⁠$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$ 2/3⁠ ; b (1) = ⁠32/9π⁠ ≈ 1.13177 .

外部の場所に目を向けると、同様の方法で積分を設定することができ、今度は次のように得られる。

$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$ ここで余弦定理によれば、s ₊ (θ)とs _– (θ)は方程式の sの根である。 したがって、 標準積分を使用してu = q sinθを代入して得る ことができる。 ^[12]$${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}$$

したがって、再びb (1) = ⁠32/9π⁠、また^[13] $${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$

• 単位円、半径1の円
• 環帯（数学）、2つの同心円の間の領域
• ボール（数学）、円盤の3次元類似物を表す通常の用語
• 円板代数、円板上の関数の空間
• 円形セグメント
• 三角形の特定の中心を含む直交重心円