磁気双極子-双極子相互作用

2 つ以上の磁石が十分に小さいか、十分に離れているため、その形状やサイズが重要でない場合、両方の磁石は磁気モーメントm ₁とm ₂を持つ磁気双極子としてモデル化できます。均一に磁化された球形磁石の場合、このような磁石の外部磁場は正確に双極子磁場であるため、このモデルは有限のサイズと距離でも正確です。^{[ 1 ]}

磁気双極子の磁場をベクトル表記すると次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0}}{3}}\mathbf {m} \delta ^{3}(\mathbf {r} )}$$ どこ

• Bはフィールドです
• rは、双極子の位置から磁場が測定される位置までのベクトルである。
• rはrの絶対値、すなわち双極子からの距離である。
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r}$は、 rに平行な単位ベクトルです。
• mは（ベクトル）双極子モーメントである
• μ₀は自由空間の透磁率である_。
• δ ³は 3 次元デルタ関数です。^{[ 2 ]}

これはまさに点双極子の電場であり、任意の電場の多重極展開における双極子項であり、遠距離におけるあらゆる双極子状配置の電場とほぼ一致する。

座標系をm ₁を中心として移動し、x軸がm ₁の方向を指すように回転させると、前の式は^{[ 3 ]に簡略化されます。}$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{r^{3}}}\right)\\B_{y}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos \theta \sin \theta }{r^{3}}}\right),\end{aligned}}}$$ ここで、変数rとθは、 m1_を原点とし、m1が原点においてx方向を向くように配置された座標_系で測定されます。この座標系はローカル座標系と呼ばれ、右の図に示されています。

ある磁気双極子が別の磁気双極子に及ぼす力は、上記で与えられた最初の双極子の磁場を用いて、磁場が2番目の双極子に及ぼす力を力の式を用いて求めることによって決定されます。

$${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right),}$$ ここで、勾配∇は単位距離あたりの量m・Bの変化であり、方向はm・Bが最大に増加する方向である。ベクトル表記を用いると、磁気双極子m1_が磁気双極子m2_{に及ぼす力は次の}ようになる。$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\frac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right]}$$ ここで、rは双極子モーメントm ₁から双極子モーメントm ₂までの距離ベクトルであり、r = ‖ r ‖です。m 1に作用する力は逆方向です。例として、z 方向を向いて z 軸上に整列し、距離 z だけ離れた 2 つの磁石の磁力は次のようになります_。

${\displaystyle \mathbf {F} (z,m_{1},m_{2})=-{\frac {3\mu _{0}m_{1}m_{2}}{2\pi z^{4}}}}$、z方向。

最終的な式を次に示します。これらはグローバル座標系で表され、 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\left[2\cos(\phi -\alpha )\cos(\phi -\beta )-\sin(\phi -\alpha )\sin(\phi -\beta )\right]\\F_{\phi }(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\sin(2\phi -\alpha -\beta )\end{整列}}}$$

デカルト座標系における2つの古典的な点状磁気双極子モーメントm1_とm2を考えます。私たちのモデルでは_、双極子相互作用を次のように考えます。双極子によって生成される磁場の長距離相互作用により、一方の双極子は他方の双極子によって生成される磁場と相互作用することができ、ポテンシャルエネルギーランドスケープは次のように与えられます。 ${\displaystyle U_{ij}=-\mathbf {m} _{i}\cdot {\mathbf {B} }_{j}\,,}$ ここで、添え字は双極子モーメントを表す。この系の相互作用ハミルトニアンは、以下の形式で計算される。

${\displaystyle H=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}\left[3(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})-\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}\right]-\mu _{0}{\frac {2}{3}}\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}\delta (\mathbf {r} ),}$

ここでμ₀_は磁気定数であり、${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$_は両方の双極子を通る平行な中心線に平行な単位ベクトルであり、| r |_はm1とm2の中心間の距離です。最後の項は${\displaystyle \delta }$-関数は原点以外では消滅し、${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} }$どこにも消え去る。

_{この前述のハミルトニアンは、}量子力学的描像に簡単に適用できます。スピン1/2の粒子S1とS2_を、磁気回転比γ1と_γ2で考えます。ハミルトニアンは次のように書くことができます。

${\displaystyle H=-{\frac {\mu _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\hbar ^{2}}{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}\left[3(\mathbf {S} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {S} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})-\mathbf {S} _{1}\cdot \mathbf {S} _{2}\right].}$

m ₁とm ₂の相互作用から生じる 力Fは次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\{({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {m} _{1})\mathbf {m} _{2}+({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {m} _{1}+{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})-5{\hat {\mathbf {r} }}[({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {m} _{1})({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {m} _{2})]\}.}$

Hのフーリエ変換は、以下の事実から計算できる。

${\displaystyle {\frac {3(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})-\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}}{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}=(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {\nabla } )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {\nabla } ){\frac {1}{4\pi |\mathbf {r} |}}}$

そして、それは次のように与えられる。

${\displaystyle H={\mu _{0}}{\frac {(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {q} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {q} )-|\mathbf {q} |^{2}\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}}{|\mathbf {q} |^{2}}}.}$