デジタルジオメトリ

デジタル幾何学は、 2D または 3Dユークリッド空間のオブジェクトのデジタル化されたモデルまたは画像と見なされる離散セット (通常は離散点セット)を扱います。簡単に言えば、デジタル化とは、オブジェクトをその点の離散セットに置き換えることです。テレビ画面、コンピューターのラスターディスプレイ、新聞で目にする画像は、実際にはデジタル画像です。

主な応用分野はコンピュータグラフィックスと画像解析です。

研究の主な側面は次のとおりです。

• 精度と効率を重視して、オブジェクトのデジタル化された表現を構築します (合成による方法 (たとえば、Bresenham のライン アルゴリズムやデジタル ディスクを参照)、またはデジタル画像のデジタル化とその後の処理による方法)。
• デジタル集合の特性の研究。たとえば、ピックの定理、デジタル凸性、デジタル直線性、デジタル平面性などを参照してください。
• オブジェクトのデジタル表現を、たとえば (A)画像のデジタルトポロジーが変化しないように単純な点を繰り返し削除することによって (i) スケルトンなどの簡略化された形状に変換したり、指定されたデジタルオブジェクト表現の距離変換で局所的最大値を計算することによって (ii) 中心軸に変換したり、(B)数学的形態学を使用して変更された形状に変換したりします。
• デジタル画像から「実際の」物体またはその特性（面積、長さ、曲率、体積、表面積など）を再構築します。
• デジタル曲線、デジタル曲面、デジタル多様体の研究。
• デジタルオブジェクトの追跡アルゴリズムの設計。
• デジタル空間上で機能します。
• 曲線スケッチは、ピクセルごとに曲線を描く方法です。

デジタルジオメトリは離散ジオメトリと大きく重複しており、その一部と見なすことができます。

2D デジタル空間は通常、2D ユークリッド空間内の整数点のみを含む 2D グリッド空間を意味します。2D 画像は、2D デジタル空間上の関数です (画像処理を参照)。

Rosenfeld と Kak の本では、デジタル接続性はデジタル空間内の要素間の関係として定義されています。たとえば、2D の 4 接続性と 8 接続性です。ピクセル接続性も参照してください。デジタル空間とその (デジタル) 接続性によって、デジタル トポロジが決まります。

デジタル空間では、デジタル連続関数 (A. Rosenfeld、1986) と徐々に変化する関数(L. Chen、1989) がそれぞれ独立して提案されました。

デジタル連続関数とは、デジタルポイントの値（整数）が隣接するポイントの値と同じか、最大 1 だけずれている関数のことです。言い換えると、x とy がデジタル空間内の隣接する 2 つのポイントである場合、| f ( x ) −  f ( y )| ≤ 1 となります。

徐々に変化する関数は、デジタル空間からへの関数であり 、 と は実数です。この関数には次の特性があります。xとy が内の 2 つの隣接する点である場合、 と仮定すると、、 、または となります。したがって、徐々に変化する関数は、デジタル連続関数よりも一般的なものとして定義されていることがわかります。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$${\displaystyle A_{1}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle f(x)=A_{i}}$${\displaystyle f(y)=A_{i}}$${\displaystyle f(x)=A_{i+1}}$${\displaystyle A_{i-1}}$

上記の関数に関連する拡張定理は、A. Rosenfeld (1986) によって提唱され、L. Chen (1989) によって完成されました。この定理は、次のように述べています。 およびとします。の段階的に変化する拡張が存在するための必要十分条件は、内の点と の各ペアについて、およびと仮定すると、 が成り立ちます。ここで、 はと間の (デジタル) 距離です。 ${\displaystyle D\subset \Sigma }$${\displaystyle f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f(x)=A_{i}}$${\displaystyle f(y)=A_{j}}$${\displaystyle |ij|\leq d(x,y)}$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• 計算幾何学
• デジタルトポロジー
• 離散幾何学
• 組合せ幾何学
• 断層撮影
• 点群

• A. Rosenfeld、「デジタル画像上の連続的な機能」、Pattern Recognition Letters、v.4 n.3、p. 177–184、1986年。
• L. Chen, 徐々に変化する充填のための必要十分条件と効率的なアルゴリズム, Chinese Sci. Bull. 35 (10), pp 870–873, 1990.

• Rosenfeld, Azriel (1969)。コンピュータによる画像処理。Academic Press。
• ローゼンフェルド、アズリエル（1976）。デジタル画像分析。ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-07579-8。
• Rosenfeld, Azriel ; Kak, Avinash C. (1982).デジタル画像処理. ボストン: Academic Press. ISBN 0-12-597301-2。
• ローゼンフェルド、アズリエル（1979）。絵で見る言語。アカデミック・プレス。ISBN 0-12-597340-3。
• シャセリー、J. A.モンタンベール。 （1991年）。ジオメトリを離散化し、画像を分析します。エルメス。ISBN 2-86601-271-2。
• Kong, TY; Rosenfeld, A. 編 (1996)。『デジタル画像処理のためのトポロジカルアルゴリズム』。Elsevier。ISBN 0-444-89754-2。
• Voss, K. (1993). Zn における離散画像、オブジェクト、関数。Springer。ISBN 0-387-55943-4。
• ハーマン、GT（1998）。デジタル空間の幾何学。ビルクハウザー。ISBN 0-8176-3897-0。
• Marchand -Maillet, S.; YM Sharaiha (2000)。バイナリデジタル画像処理。Academic Press。ISBN 0-12-470505-7。
• Soille, P. (2003).形態学的画像解析：原理と応用. Springer. ISBN 3-540-42988-3。
• Chen, L. (2004).離散表面と多様体: デジタル離散幾何学と位相の理論. SP Computing. ISBN 0-9755122-1-8。
• Rosenfeld, Azriel ; Klette, Reinhard (2004)。『デジタルジオメトリ：デジタル画像解析のための幾何学的手法（モルガン・カウフマン・コンピュータグラフィックスシリーズ）』サンディエゴ：Morgan Kaufmann。ISBN 1-55860-861-3。
• Chen, L. (2014). デジタルおよび離散幾何学: 理論とアルゴリズム. Springer. ISBN 978-3-319-12099-7。
• Kovalevsky, Vladimir A. (2008).局所有限空間の幾何学、コンピュータに適したトポロジー、およびコンピュータ画像化アルゴリズム。ベルリン。ISBN 978-3-9812252-0-4。 

• IAPR 離散幾何学技術委員会
• デジタル幾何学とトポロジーに関するウェブサイト
• デジタル幾何学と数理形態学のコース (Ch. Kiselman)
• DGtal: オープンソースのデジタルジオメトリツールボックスとアルゴリズムライブラリ