地理空間トポロジー

地理空間トポロジーは、地理情報システム(GIS)などの地理情報における地理的特徴間、またはそのような特徴の表現間の定性的な空間関係の研究および応用です。 ^{[ 1 ]}例えば、2 つの領域が重なり合っていることや、一方が他方を含んでいることは、トポロジー的関係の例です。したがって、これはトポロジーの数学を GIS に適用したものであり、座標幾何学による定量的空間測定に基づく地理情報の多くの側面とは異なりますが、補完的なものです。トポロジーは、空間クエリ、ベクトルオーバーレイ、マップ代数による固有の関係の発見、地理空間データに格納された検証ルールとしての期待される関係の強制、ネットワーク分析などのアプリケーションで格納されたトポロジー的関係の使用など、地理情報科学とGIS の実践の多くの側面に現れます。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}空間トポロジーは、 CAD ソフトウェアなどの非地理的領域への地理空間トポロジーの一般化です。

トポロジーの定義に従えば、 2 つの地理的現象間のトポロジー的関係とは、空間の変換 (地図投影など) を含む、測定可能な空間の側面に影響されない空間的関係のことです。したがって、2 つの特徴が「隣接」、「重なり」、「分離」している、または一方が他方の「内部」にあるといった、ほとんどの定性的な空間的関係が含まれます。逆に、ある特徴が別の特徴から「5 km 離れている」、またはある特徴が別の特徴の「真北」にあるというのは、計量関係です。1990年代初頭の地理情報科学の最初の発展の 1 つは、マックス・エゲンホーファー、エリセオ・クレメンティーニ、ピーター・ディ・フェリーチェらが、このような関係の簡潔な理論を開発したことであり、これは一般に9 交差モデルと呼ばれ、特徴の内部、外部、境界間の関係に基づいてトポロジー的関係の範囲を特徴付けています。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

これらの関係は意味論的に分類することもできる。

• 本質的な関係とは、境界定義に表される関係や部分論的関係の現れなど、関連する現象の一方または両方の存在や同一性にとって重要な関係のことです。例えば、ネブラスカ州がアメリカ合衆国内に存在するのは、アメリカ合衆国がネブラスカ州を領土の分割として創設したためです。ミズーリ川がネブラスカ州に隣接しているのは、州の境界定義にそう記されているからです。これらの関係は、トポロジーに精通したデータに格納され、維持されることがよくあります。
• 偶然の関係とは、両者の存在に不可欠ではないものの、非常に重要な意味を持つ関係のことである。例えば、プラット川がネブラスカ州を流れているという事実は偶然である。なぜなら、たとえその関係が存在しなかったとしても、両者は問題なく存在し続けるからである。こうした関係は、そのまま記録されることは稀であり、通常は空間分析手法によって発見され、文書化される。

トポロジは、GIS の初期の頃からの関心事でした。カナダ地理情報システムなどの初期のベクターシステムは、トポロジ関係を管理していなかったため、特にベクターオーバーレイなどの操作で、細長いポリゴンなどの問題が蔓延しました。^{[ 9 ]}これに対応して、GBF/DIME (米国国勢調査局、1967 年) や POLYVRT (ハーバード大学、1976 年)などのトポロジベクターデータモデルが開発されました。 ^{[ 10 ]}トポロジデータモデルの戦略は、フィーチャ間のトポロジ関係 (主に隣接) を保存し、その情報を使用してより複雑なフィーチャを構築することです。ノード (ポイント) は、線が交差する場所に作成され、接続する線のリストが属性として付けられます。ポリゴンは、閉じたループを形成する任意の一連の線から構築されます。これらの構造は、非トポロジー的なベクトルデータ（しばしば「スパゲッティデータ」と呼ばれる）に比べて 3 つの利点がありました。1 つ目は、隣接する 2 つのポリゴンの共有境界が一度だけ保存されるため、効率的であること（1970 年代のストレージと処理能力を考えると重要な要素）です。2 つ目は、ポリゴンの重なり、ダングリングノード（他の線に適切に接続されていない線）、スライバーポリゴン（2 つの線が一致するはずなのに一致しない場所に作成される小さな偽のポリゴン）などのトポロジーエラーを防止または強調することで、データの整合性の維持が容易になることです。3 つ目は、ベクトルオーバーレイなどの操作のアルゴリズムが簡素化されることでした。^{[ 11 ]}主な欠点は、複雑であることで、多くのユーザーにとって理解しにくく、データ入力時に特別な注意が必要でした。これらは 1980 年代の支配的なベクトルデータモデルとなりました。

1990 年代までに、ストレージの低価格化とトポロジを気にしない新規ユーザーの組み合わせにより、シェープファイルなどのスパゲッティ データ構造が復活しました。しかし、保存されたトポロジ関係と整合性の強制の必要性は依然として存在します。現在のデータにおける一般的なアプローチは、本質的にトポロジではないデータの上に拡張レイヤーなどを保存することです。たとえば、Esriジオデータベースは、ベクター データ (「フィーチャ クラス」) をスパゲッティ データとして保存しますが、ライン フィーチャ クラスの上に接続の「ネットワーク データセット」構造を構築できます。ジオデータベースには、検証および修正可能な、レイヤー内およびレイヤー間のトポロジ関係の制約 (たとえば、郡にギャップがあってはならず、州境は郡境と一致しなければならず、郡はまとめて州をカバーしなければならない) であるトポロジ ルールのリストも保存できます。^{[ 12 ]} PostGISなどの他のシステムも同様のアプローチを採用しています。まったく異なるアプローチは、トポロジ情報をデータにまったく保存せず、通常は編集プロセス中に動的に構築して、起こりうるエラーを強調して修正することです。これはArcGIS ProやQGISなどのGISソフトウェアの機能です。^{[ 13 ]}

いくつかの空間分析ツールは、最終的には地物間の位相関係の発見に基づいている。

• 空間クエリとは、あるデータセット内の特徴を、別のデータセットの特徴との望ましいトポロジー関係に基づいて検索するものです。例えば、「X校の境界内で生徒の位置はどこにあるのか？」といった検索です。
• 空間結合とは、2つのデータセットの属性テーブルを結合する手法で、リレーショナルデータベースの通常のテーブル結合のように保存されたキーを使用するのではなく、2つのデータセットのフィーチャ間の望ましいトポロジ関係に基づいて行を照合します。たとえば、学校レイヤーの属性を、各生徒がどの学区に属しているかに基づいて生徒テーブルに結合する場合などがこれに該当します。
• ベクターオーバーレイとは、2つのレイヤー（通常はポリゴン）をマージし、2つの入力データセットのフィーチャが交差する場所に新しいフィーチャを作成する手法です。
• 輸送ネットワーク分析とは、グラフ理論の数学を用いて、接続された線（道路、公共インフラ、河川など）を分析するツール群の総称です。最も一般的な例は、道路網を通して2地点間の最適な経路を決定することであり、これは多くの道路ウェブマップで実装されています。

OracleとPostGISは、アプリケーションが「含む、内部、覆う、覆われる、接触、境界が交差する重なり」などの関係をテストできる基本的なトポロジー演算子を提供します。 ^{[ 14 ] [ 15 ]} PostGISのドキュメントとは異なり、Oracleのドキュメントでは、「座標空間がねじれや伸縮などの変形を受けても一定のままのトポロジー関係」と「長さ、距離、面積などの非トポロジー関係」を区別しています。これらの演算子は、データセットがトポロジー的に正しい方法で保存および処理されるように、アプリケーションによって活用されます。ただし、トポロジー演算子は本質的に複雑であり、その実装には使いやすさと標準への準拠に注意を払う必要があります。^{[ 16 ]}

• デジタルトポロジー
• DE-9IM（次元拡張9交点モデル）