数学 において 、 対称微分は、 通常の 微分を一般化した 演算 です 。
それは次のように定義される: [1] [2]
リム
h → 0
ふ （ x + h ） − ふ （ x − h ）
2 h
。
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h}}.}
極限下の表現は 対称 差商 と呼ばれることもある。 [3] [4] 関数が 点 xにおいて 対称微分可能 であるとは、その点において対称微分が存在することを意味する。
ある関数が（通常の意味で）ある点で 微分可能であれば 、対称微分可能でもあるが、その逆は成り立たない。よく知られた反例としては 絶対値 関数 f ( x ) = | x |がある。これは x = 0 では微分不可能だ が、対称微分が 0 であれば対称微分可能である。微分可能な関数の場合、対称差分商は 通常の差分商よりも 微分の数値近似値として優れている。 [3]
与えられた点における対称微分は、その点における 左微分と右微分が両方存在する場合、その点における左微分と右微分 の 算術平均 に等しくなります。 [1] [2] : 6
ロールの定理 も 平均値定理 も 対称微分には当てはまりません。類似しているがより弱い主張がいくつか証明されています。
例
絶対値関数 絶対値関数のグラフ。 x = 0 で急激に曲がるため、 x = 0 で曲線が微分不可能になることに注意してください 。したがって、この関数は x = 0で通常の導関数を持ちません。ただし、 x = 0 では対称導関数が存在します 。 絶対値 関数 については、 対称微分の 表記
法を用いると、
ふ （ x ） =
|
x
|
{\displaystyle f(x)=|x|}
ふ
s
（ x ）
{\displaystyle f_{s}(x)}
x = 0
{\displaystyle x=0}
ふ
s
（ 0 ）
=
リム
h → 0
ふ （ 0 + h ） − ふ （ 0 − h ）
2 h
=
リム
h → 0
ふ （ h ） − ふ （ − h ）
2 h
=
リム
h → 0
|
h
|
−
|
− h
|
2 h
=
リム
h → 0
|
h
|
−
|
h
|
2 h
=
リム
h → 0
0
2 h
= 0.
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|{-h}|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|h|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\\\end{aligned}}}
したがって、絶対値関数の対称微分は に存在し 、その通常の微分はその点には存在しませんが ( での曲線の「急激な」曲がりのため )、その値は 0 に等しくなります。
x = 0
{\displaystyle x=0}
x = 0
{\displaystyle x=0}
この例では、0 における左導関数と右導関数の両方が存在しますが、それらは等しくありません (一方が -1 で、もう一方が +1)。予想どおり、それらの平均は 0 です。
機能 x −2 y = 1/ x 2 のグラフ。 x = 0 で不連続になっていることに注意してください 。したがって、この関数は x = 0で通常の導関数を持ちません。ただし、 x = 0 では対称導関数が存在します 。 関数 について は
、
ふ （ x ） = 1
/
x
2
{\displaystyle f(x)=1/x^{2}}
x = 0
{\displaystyle x=0}
ふ
s
（ 0 ）
=
リム
h → 0
ふ （ 0 + h ） − ふ （ 0 − h ）
2 h
=
リム
h → 0
ふ （ h ） − ふ （ − h ）
2 h
=
リム
h → 0
1
/
h
2
− 1
/
（ − h
）
2
2 h
=
リム
h → 0
1
/
h
2
− 1
/
h
2
2 h
=
リム
h → 0
0
2 h
= 0.
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\[1ex]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\end{aligned}}}
また、この関数では対称微分は に存在します が、通常の微分は では曲線の不連続性のため存在しません。さらに、左微分も右微分も 0 では有限ではありません。つまり、これは 本質的な不連続性 です 。
x = 0
{\displaystyle x=0}
x = 0
{\displaystyle x=0}
ディリクレ関数 ディリクレ 関数は 、次のように定義されます。
は、
すべての で対称微分を持ちます が、どの においても対称微分可能ではありません。 つまり、対称微分は 有理数では存在しますが、 無理数 では存在しません 。
ふ （ x ） =
{
1 、
もし
x
合理的である
0 、
もし
x
非合理的である
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x{\text{ is reasonable}}\\0,&{\text{if }}x{\text{ is less effective}}\end{cases}}}
x ∈
質問
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} }
x ∈
R
∖
質問
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
準平均値定理 対称微分は、通常の平均値定理 （ラグランジュの）には従いません 。反例として、 f ( x ) = | x |の対称微分は 像 {−1, 0, 1} を持ちます が、 f の正割はより広い範囲の傾きを持つことができます。たとえば、 区間 [−1, 2] では、平均値定理により、（対称）微分が値 を取る点が存在することが要求されます 。 [5]
|
2
|
−
|
− 1
|
2 − （ − 1 ）
=
1 3
{\displaystyle {\frac {|2|-|-1|}{2-(-1)}}={\frac {1}{3}}}
ロールの定理 に似た対称微分に関する定理が 1967 年に C. E. Aull によって確立され、準ロールの定理と名付けられました。 f が 閉区間 [ a , b ] 上で連続し、 開区間 ( a , b ) 上で対称微分可能で 、 f ( a ) = f ( b ) = 0 である場合、 ( a , b ) 内に2 つの点 x 、 y が 存在し 、 f s ( x ) ≥ 0 かつ f s ( y ) ≤ 0 となります。この定理への足がかりとしてオールが確立した補題は、 f が閉区間 [ a , b ]で連続かつ開区間 ( a , b ) で対称微分可能であり 、さらに f ( b ) > f ( a ) であるとき、対称微分が非負となる 点 z が ( a , b ) 内に存在する、または上で使用した表記法で f s ( z ) ≥ 0 と なる、ということである。同様に、 f ( b ) < f ( a )であるとき、 f s ( z ) ≤ 0 と なる点 zが ( a , b ) 内 に存在する 。 [5]
対称 微分可能関数の準 平均値定理は、 f が 閉区間 [ a , b ] 上で連続であり、開区間 ( a , b )上で対称微分可能である場合、 ( a , b ) 内に次の条件を満たす x , y が 存在する ことを述べている [5] [2] : 7
ふ
s
（ x ） ≤
ふ （ b ） − ふ （ 1つの ）
b − 1つの
≤
ふ
s
（ ええ ） 。
{\displaystyle f_{s}(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{ba}}\leq f_{s}(y).}
応用として、 0 を含む区間上の f ( x ) = | x |の準平均値定理は、 f の 任意 の正割の傾きが -1 から 1 の間になることを予測します。
f の対称微分が ダルブー特性 を持つ場合 、（ラグランジュの）正規平均値定理（の形式）が成り立ち、すなわち、 （ a 、 b ） に z が存在し、 [5]
ふ
s
（ ず ） =
ふ （ b ） − ふ （ 1つの ）
b − 1つの
。
{\displaystyle f_{s}(z)={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.}
結果として、関数が 連続 であり、その対称微分も連続である場合（したがってダルブー性質を持つ場合）、その関数は通常の意味で微分可能である。 [5]
一般化 この概念は、高次対称微分や n 次元 ユークリッド空間 にも一般化されます。
2番目の対称導関数 2番目の対称導関数は次のように定義される [6] [2] : 1
リム
h → 0
ふ （ x + h ） − 2 ふ （ x ） + ふ （ x − h ）
h
2
。
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}.}
（通常の） 2次導関数 が存在する場合、2次対称導関数が存在し、それに等しい。 [6] しかし、（通常の）2次導関数が存在しない場合でも、2次対称導関数が存在する可能性がある。例として、次 のように定義される
符号関数を考える。
記号 （ x ）
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}
記号 （ x ） =
{
− 1
もし
x < 0 、
0
もし
x = 0 、
1
もし
x > 0.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}
符号関数はゼロで連続ではないため、 の2次導関数は 存在しません。しかし、 の2次対称導関数は存在します 。
x = 0
{\displaystyle x=0}
x = 0
{\displaystyle x=0}
リム
h → 0
記号 （ 0 + h ） − 2 記号 （ 0 ） + 記号 （ 0 − h ）
h
2
=
リム
h → 0
記号 （ h ） − 2 ⋅ 0 + （ − 記号 （ h ） ）
h
2
=
リム
h → 0
0
h
2
= 0.
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.}
参照
参考文献
^ ab Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable . Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0 。 ^ abcd Thomson, Brian S. (1994). 実関数の対称性 . Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0 。 ^ ab Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). 微積分とその応用 . Springer. p. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8 。 ^ シャーリー・O・ホケット、デイビッド・ボック（2005年）。 バロンズ『AP微積分学の対策法』 。バロンズ教育シリーズ。53ページ 。ISBN 978-0-7641-2382-5 。 ^ abcde Sahoo, Prasanna; Riedel, Thomas (1998). 平均値定理と関数方程式 . World Scientific. pp. 188–192. ISBN 978-981-02-3544-4 。 ^ ab A. Zygmund (2002). 三角関数シリーズ . ケンブリッジ大学出版局. pp. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3 。
AB Kharazishvili (2005)。『 Strange Functions in Real Analysis』 （第2版）。CRC Press。p. 34。ISBN 978-1-4200-3484-4 。 Aull, CE (1967). 「第一対称導関数」. Am. Math. Mon. 74 ( 6): 708–711. doi :10.1080/00029890.1967.12000020.
外部リンク 「対称微分」、 数学百科事典 、 EMS Press 、2001 [1994] 対称差商による導関数の近似 (Wolfram デモンストレーション プロジェクト) 
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\[1ex]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72978b9b8242f4a531fa7dd728141b68b7bec1d3)
