対蹠点

数学では、球面（または円を含むn次元球面）上の2点が直径（球面上の2点を結び、球面の中心を通る直線部分）の端点である場合、その2点は対蹠的または正反対であると呼ばれます。^[1]

球面上の任意の点が与えられた場合、その対心点は、内在的に（球面上の大円距離）測定しても、外在的に（球面内部を通る弦距離）測定しても、最大距離にある唯一の点である。ある点を通過する球面上のすべての大円は、その対心点も通過し、対心点のペアを通過する大円は無数に存在する（対心点ではない2点のペアの場合は、両方を通過する唯一の大円が存在するのとは異なります）。球面幾何学における多くの結果は、非対心点の選択に依存しており、対心点が許される場合は退化します。たとえば、球面三角形は、頂点のうち2つが対心点である場合、指定不足の三日月形に退化します。

ある点の反対側の点は、その点の反対の足を意味するギリシャ語の ἀντίποδες ( antípodes ) から、反対の足と呼ばれる。Antipodes § 語源を参照。sが省略されて、逆の形であるantipodeと表現されることもある。

対心点の概念は、あらゆる次元の球に一般化されます。球上の 2 つの点は、中心を通り反対側にある場合、対心点です。中心を通る各線は、中心から放射される各光線ごとに 1 つずつ、合計 2 つの点で球と交差し、これらの 2 つの点は対心点です。

ボルスク・ウラム定理は、そのような点のペアを扱う代数位相幾何学から得られる結果です。これは、からへの任意の連続関数が、 内の対心点のペアを内の同じ点に写すというものです。ここで、 は- 次元球面を表し、は- 次元の実座標空間 を表します。 ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

対蹠写像は 球面上のすべての点をその対蹠点に写す。-球面上の点がユークリッド -空間における球面の中心からの変位ベクトルとして表される場合、 2つの対蹠点は加法逆写像とで表され、対蹠写像は次のように定義される。対蹠写像は、 が奇数のときは向きを保存し（恒等写像と同形である）^[2]、 が偶数のときは向きを反転する。その次数は${\displaystyle A:S^{n}\to S^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle -\mathbf {v} ,}$${\displaystyle A(\mathbf {x} )=-\mathbf {x} .}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (-1)^{n+1}.}$

対心点が同一視される（同値とみなされる）場合、球面は実射影空間のモデルになります。

• カット軌跡

• 「対蹠体」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「対蹠的」。PlanetMath 。