ド・モルガンの法則

命題論理とブール代数において、ド・モルガンの法則[ ^{1 ] [}^{2 ] [}^{3 ] （}ド・モルガンの定理^{[ 4 ]}とも呼ばれる）は、どちらも有効な推論規則である一対の変換規則である。これらは19世紀のイギリスの数学者オーガスタス・ド・モルガンにちなんで名付けられた。これらの規則により、否定を介して連言と選言を純粋に互いの観点から表現することができる。

ルールは英語で次のように表現できます。

「AかつB」の否定は、「Aでない、またはBでない」と同じです。
「AまたはB」の否定は、「AでもなくBでもない」と同じです。

または

2つの集合の和集合の補集合は、それらの補集合の共通部分と同じである。
2つの集合の共通部分の補集合は、それらの補集合の和集合と同じである。

または

(AまたはBではない) = (Aではない)かつ(Bではない)
(AかつB)ではない = (Aではない)または(Bではない)

ここで「AまたはB」は「AまたはBの少なくとも一方」を意味する「包含的または」であり、「AまたはBのちょうど一方」を意味する「排他的または」ではない。

ド・モルガンの法則の別の形式は、以下に示すとおりです。

A-(B\cup C)=(AB)\cap (AC),

A-(B\cap C)=(AB)\cup (AC).

これらの法則の応用例としては、コンピュータプログラムやデジタル回路設計における論理式の簡略化などが挙げられる。ド・モルガンの法則は、数学的双対性というより一般的な概念の一例である。

正式な表記法

連言の否定規則は、シーケント記法で次のように表すことができます。

{\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\vdash (\neg P\lor \neg Q),{\text{and}}\\(\neg P\lor \neg Q)&\vdash \neg (P\land Q).\end{aligned}}

選言の否定規則は次のように記述できます。

{\begin{aligned}\neg (P\lor Q)&\vdash (\neg P\land \neg Q),{\text{and}}\\(\neg P\land \neg Q)&\vdash \neg (P\lor Q).\end{aligned}}

規則形式では：論理積の否定

${\frac {\neg (P\land Q)}{\therefore \neg P\lor \neg Q}}\qquad {\frac {\neg P\lor \neg Q}{\therefore \neg (P\land Q)}}$

および選言の否定

${\frac {\neg (P\lor Q)}{\therefore \neg P\land \neg Q}}\qquad {\frac {\neg P\land \neg Q}{\therefore \neg (P\lor Q)}}$

そして、真理関数的なトートロジーまたは命題論理の定理として表現される。

{\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\leftrightarrow (\neg P\lor \neg Q),\\\neg (P\lor Q)&\leftrightarrow (\neg P\land \neg Q)。\\\end{aligned}}

どこ $P$ そして $Q$ それらは何らかの形式体系で表現された命題である。

一般化されたド・モルガンの法則は、複数の項を含む連言または選言の否定に対する同値性を提供する。一連の命題に対して、 $P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}$ 一般化されたド・モルガンの法則は以下のとおりです。

{\begin{aligned}\lnot (P_{1}\land P_{2}\land \dots \land P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\lor \lnot P_{2}\lor \ldots \lor \lnot P_{n}\\\lnot (P_{1}\lor P_{2}\lor \dots \lor P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\land \lnot P_{2}\land \ldots \land \lnot P_{n}\end{aligned}}

これらの法則は、ド・モルガンの連言と選言の否定に関する元の法則を一般化したものである。

置換フォーム

ド・モルガンの法則は通常、上記の簡潔な形式で表され、左側に出力の否定、右側に入力の否定が示されます。より分かりやすい置換形式は次のように表すことができます。

{\begin{aligned}(P\land Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\lor \neg Q),\\(P\lor Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\land \neg Q).\end{aligned}}

これは、置換を行う際に、入力と出力の両方を反転させるだけでなく、演算子も変更する必要があることを強調している。

集合論

集合論では、これはしばしば「補集合の下での和集合と積集合の交換」^{[ 5 ]}と表現され、形式的には次のように表すことができます。

{\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}

どこ：

${\overline {A}}$ は否定である $A$ 否定する語句の上に上線が引かれ、
$\cap$ は交差演算子（AND）です。
$\cup$ はユニオン演算子（OR）です。

任意の数の集合の和集合と積集合

一般化された形式は

{\begin{aligned}{\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\\{\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\end{aligned}}

ここで、 $I$ はある何らかのインデックス集合であり、可算集合または非可算無限集合である可能性がある。

集合記号では、ド・モルガンの法則は「線を破って、符号を変える」という覚え方で覚えることができます。 ^{[ 6 ]}

ブール代数

ブール代数においても同様に、この法則は形式的には次のように表現できる。

{\begin{aligned}{\overline {A\land B}}&={\overline {A}}\lor {\overline {B}},\\{\overline {A\lor B}}&={\overline {A}}\land {\overline {B}},\end{aligned}}

どこ：

${\overline {A}}$ は否定である $A$ 否定する語句の上に上線が引かれ、
$\land$ は論理積演算子（AND）です。
$\lor$ は論理和演算子（OR）です。

これは以下のように一般化できる

{\begin{aligned}{\overline {A_{1}\land A_{2}\land \ldots \land A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\lor {\overline {A_{2}}}\lor \ldots \lor {\overline {A_{n}}},\\{\overline {A_{1}\lor A_{2}\lor \ldots \lor A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\land {\overline {A_{2}}}\land \ldots \land {\overline {A_{n}}}.\end{aligned}}

エンジニアリング

電気工学およびコンピュータ工学において、ド・モルガンの法則は一般的に次のように記述される。

{\overline {(A\cdot B)}}\equiv ({\overline {A}}+{\overline {B}})

そして

{\overline {(A+B)}}\equiv ({\overline {A}}\cdot {\overline {B}}),

どこ：

$\cdot$ 論理ANDです。
$+$ 論理ORです。
上線は、上線の下にあるものの論理否定です。

テキスト検索

ド・モルガンの法則は、ブール演算子AND、OR、NOTを用いたテキスト検索によく適用されます。「cats」と「dogs」という単語を含む文書のセットを考えてみましょう。ド・モルガンの法則によれば、次の2つの検索では同じ文書セットが返されます。

検索A：猫または犬以外

検索B：（猫以外）かつ（犬以外）

「猫」または「犬」を含む文書群は、以下の4つの文書で表すことができます。

文書1：単語「cats」のみが含まれています。

文書2：内容は「犬」のみ。

文書3：この文書には「猫」と「犬」の両方が含まれています。

文書4：猫も犬も含まれていません。

検索Aを評価するために、明らかに「(cats OR dogs)」という検索は文書1、2、3にヒットします。したがって、その検索の否定（つまり検索A）は、それ以外のすべて、つまり文書4にヒットします。

検索Bを評価すると、「(NOT cats)」という検索は「cats」を含まない文書、つまり文書2と文書4にヒットします。同様に、「(NOT dogs)」という検索は文書1と文書4にヒットします。これら2つの検索にAND演算子を適用すると（これが検索Bです）、これら2つの検索に共通する文書、つまり文書4にヒットします。

同様の評価を適用することで、以下の2つの検索がいずれも文書1、2、4を返すことを示すことができます。

検索C: NOT (猫と犬)、

検索D: (猫以外) または (犬以外)。

実例

ド・モルガンの法則が実際にどのように機能するかを示すより具体的な例を以下に示します。^{[ 7 ]}

「ある数が偶数かつ正であるということはあり得ない」という命題を考えてみましょう。ド・モルガンの法則を用いると、この命題は「その数は偶数でないか、正でないかのどちらかである」と書き換えることができます^{[ 8 ] 。}

この変換は、各要素を否定し、論理演算子を入れ替えることで、否定が論理積全体にどのように分配されるかを示しています。^{[ 9 ]}このような段階的な書き換えは、証明や問題解決における論理式を簡略化する際に特に役立ちます。

歴史

これらの法則は、古典命題論理にこれらの法則の形式版を導入したオーガスタス・ド・モルガン（1806–1871）[10]にちなんで名付けられました^。ド・モルガンの^法則^が彼自身の著作の中で初めて明示的に述べられたのは、1847年の著書『形式論理』^[¹²^]です^。ド・モルガンの定式化は、ジョージ・ブールが行った論理の代数化の影響を受けており、後にド・モルガンの発見者としての主張を確固たるものにしました。しかしながら、同様の観察はアリストテレスによってなされており、ギリシャや中世の論理学者にも知られていました。^[¹³^]例えば、14世紀には、ウィリアム・オブ・オッカムが、これらの法則を読み上げることによって生じる言葉を書き留めています。^[¹⁴^]ジャン・ブリダンも、彼の『弁証法の要約』の中で、ド・モルガンの法則に沿った変換規則について述べています。^[¹⁵^]それでも、ド・モルガンは、法則を現代の形式論理の用語で述べ、それを論理の言語に組み込んだ功績を認められている。ド・モルガンの法則は簡単に証明でき、自明に見えるかもしれない。^[¹⁶^]それにもかかわらず、これらの法則は証明や演繹的議論において妥当な推論を行うのに役立つ。

ブール代数の証明

ド・モルガンの定理は、論理式の全体または一部における選言の否定、あるいは連言の否定に適用することができる。

論理和の否定

論理和にこれを適用する場合、次の主張を考えてみましょう。「AまたはBのいずれかが真であることは偽である」という主張は、次のように記述されます。

\neg (A\lor B).

AもBも真ではないことが確立されたので、AもBも真ではないことが必然的に導かれる。これは直接次のように書くことができる。

(\neg A)\wedge (\neg B).

AまたはBのどちらかが真であれば、AとBの論理和は真となり、その否定は偽となる。これを英語で表現すると、「2つの事柄が両方とも偽であるならば、どちらか一方が真であるというのも偽である」という論理になる。

逆の方向で考えると、2番目の式はAが偽であり、Bも偽である（あるいは同等に「Aでない」と「Bでない」が真である）と主張している。これを踏まえると、AとBの論理和も偽でなければならない。したがって、その論理和の否定は真でなければならず、結果は最初の主張と同一となる。

論理積の否定

ド・モルガンの定理を連言に適用する方法は、形式と論理の両面で選言に適用する方法と非常によく似ています。次の主張を考えてみましょう。「AとBが両方とも真であることは偽である」という主張は、次のように記述されます。

\neg (A\land B).

この主張が真であるためには、AまたはBのどちらか一方、あるいは両方が偽でなければならない。なぜなら、もし両方が真であれば、AとBの連言が真となり、その否定が偽となるからである。したがって、 AとBのうち少なくとも一方、あるいは両方が偽でなければならない（あるいは同等に、「Aでない」と「Bでない」のうち一方、あるいは両方が真でなければならない）。これは直接次のように書くことができる。

(\neg A)\lor (\neg B).

英語のような自然言語で表現すると、「2つのことが両方とも真であるということは偽であるため、少なくともどちらか一方は偽でなければならない」となります。

再び逆の方向で考えると、2番目の式は「Aでない」と「Bでない」の少なくとも一方が真である、あるいは同等に、AとBの少なくとも一方が偽であると主張している。少なくとも一方が偽である必要があるため、それらの連言も同様に偽となる。したがって、その連言を否定すると真の式が得られ、この式は最初の主張と同一となる。

集合論の証明

ここでは、 ${\overline {A}}$ 上記§ 集合論とブール代数で述べたように、Aの補集合を表す。 ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ 両方を証明することで2つのステップで完了します ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ そして ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}$ 。

パート1

させて $x\in {\overline {A\cap B}}$ 。それから、 $x\not \in A\cap B$ 。

なぜなら $A\cap B=\{\,y\ |\ y\in A\wedge y\in B\,\}$ 必ずそうであるはずだ $x\not \in A$ または $x\not \in B$ 。

もし $x\not \in A$ 、それから $x\in {\overline {A}}$ 、それで $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ 。

同様に、 $x\not \in B$ 、それから $x\in {\overline {B}}$ 、それで $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ 。

したがって、 $\forall x{\Big (}x\in {\overline {A\cap B}}\implies x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}{\Big )}$ ;

つまり、 ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ 。

パート2

逆方向を証明するには、 $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ 矛盾を仮定する $x\not \in {\overline {A\cap B}}$ 。

その仮定の下では、次のことが起こらなければならない。 $x\in A\cap B$ 、

したがって、 $x\in A$ そして $x\in B$ それで $x\not \in {\overline {A}}$ そして $x\not \in {\overline {B}}$ 。

しかし、それはつまり $x\not \in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ 仮説に反して、 $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ 、

したがって、仮定 $x\not \in {\overline {A\cap B}}$ そうであってはならない、つまり $x\in {\overline {A\cap B}}$ 。

したがって、 $\forall x{\Big (}x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\implies x\in {\overline {A\cap B}}{\Big )}$ 、

つまり、 ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}$ 。

結論

もし ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}$ そして ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ 、それから ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ これでド・モルガンの法則の証明は完了です。

もう一つのド・モルガンの法則は、 ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$ 同様に証明される。

ド・モルガンの双対性の一般化

古典命題論理の拡張においても双対性は依然として成り立ちます（つまり、任意の論理演算子に対して常にその双対を見つけることができます）。これは、否定を規定する恒等式が存在する場合、常に別の演算子のド・モルガン双対となる演算子を導入できるためです。このことから、古典論理に基づく論理の重要な特性、すなわち否定正規形の存在が導かれます。つまり、任意の式は、その式の非論理的な原子にのみ否定を適用した別の式と等価です。否定正規形の存在は、多くの応用分野を支えています。例えば、デジタル回路設計では、論理ゲートの種類を操作するために使用され、形式論理では、式の連言正規形と選言正規形を見つけるために必要となります。コンピュータプログラマは、複雑な論理条件を簡略化したり、適切に否定したりするためにこれらを使用します。また、初等確率論における計算にもしばしば役立ちます。

基本命題p , q , ...に依存する任意の命題演算子 P( p , q , ...)の双対を演算子と定義する。 ${\mbox{P}}^{d}$ 定義される

{\mbox{P}}^{d}(p,q,...)=\neg P(\neg p,\neg q,\dots ).

述語論理と様相論理への拡張

この双対性は量化子にも一般化でき、例えば全称量化子と存在量化子は双対関係にある。

\forall x\,P(x)\equiv \neg [\exists x\,\neg P(x)]

\exists x\,P(x)\equiv \neg [\forall x\,\neg P(x)]

これらの量化子の双対性をド・モルガンの法則に関連付けるために、次のような特性が普遍的かつ存在的に帰属される議論領域D (少数の実体を含む)を考えてみましょう。

D = { a , b , c }。

次に、全称量化子を個々の文の論理積によって等価的に表現する。

\forall x\,P(x)\equiv P(a)\land P(b)\land P(c)

個々の命題の選言による存在量化子

\exists x\,P(x)\equiv P(a)\lor P(b)\lor P(c).

しかし、ド・モルガンの法則を用いると、

P(a)\land P(b)\land P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\lor \neg P(b)\lor \neg P(c))

そして

P(a)\lor P(b)\lor P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\land \neg P(b)\land \neg P(c)),

モデルにおける量化子の双対性を検証する。

次に、量化子の双対性をさらに様相論理に拡張し、ボックス演算子（「必然的に」）とダイヤモンド演算子（「おそらく」）を関連付けることができる。

\Box p\equiv \neg \Diamond \neg p,

\Diamond p\equiv \neg \Box \neg p.

アリストテレスは、可能性と必然性という真理様相への適用においてこの事例を観察しており、通常の様相論理の場合、これらの様相演算子と量化の関係は、クリプキ意味論を用いたモデルを構築することによって理解することができる。

直観主義論理学では

直観主義論理では、ド・モルガンの法則の4つの含意のうち3つが成り立つ。具体的には、

\neg (P\lor Q)\,\leftrightarrow \,{\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},

そして

{\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )}\,\to \,\neg (P\land Q).

最後の含意の逆は、純粋な直観主義論理では成り立たない。つまり、結合命題の失敗は $P\land Q$ 必ずしも2つの連言のどちらかが失敗したという結論には至らない。例えば、アリスとボブの両方がデートに現れなかったという事実から、誰が現れなかったのかを導き出すことはできない。後者の原理は、弱い排中律の原理と同等である。 ${\mathrm {WPEM} }$ 、

(\neg P)\lor \neg (\neg P).

この弱い形式は、中間論理の基礎として使用できる。存在命題に関する不完全な法則の洗練されたバージョンについては、全知のより限定された原理を参照のこと。 ${\mathrm {LLPO} }$ しかし、これは ${\mathrm {WLPO} }$ 。

他の３つのド・モルガンの法則の妥当性は、否定しても真のままである。 $\neg P$ 暗示に置き換えられる $P\to C$ 任意の定数述語 C に対して、上記の法則は最小論理においても依然として真である。

上記と同様に、量化子法則は次のとおりです。

\forall x\,\neg P(x)\,\leftrightarrow \,\neg \exists x\,P(x)

そして

\exists x\,\neg P(x)\,\to \,\neg \forall x\,P(x).

否定を固定値を意味する含意に置き換えた最小論理においても、トートロジーは存在するのか？ $Q$ 一方、最後の法則の逆は必ずしも一般的に真であるとは限らない。

さらに、まだ

(P\lor Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},

(P\land Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )},

\forall x\,P(x)\,\to \,\neg \exists x\,\neg P(x),

\exists x\,P(x)\,\to \,\neg \forall x\,\neg P(x),

しかし、それらの反転は排中律を意味する。 ${\mathrm {PEM} }$ 。

コンピュータ工学において

ド・モルガンの法則は、回路設計を簡素化する目的で、コンピュータ工学やデジタル論理において広く用いられている。^{[ 17 ]}
現代のプログラミング言語では、コンパイラとインタプリタはド・モルガンの法則を用いてブール式を最適化します。そのため、論理的に同等の式間のパフォーマンスの差は通常ごくわずか、あるいは全くありません。

応用範囲の拡大

ド・モルガンの法則はデジタル回路設計やブール代数でよく引用されますが、推論や計算においても重要な役割を果たします。ド・モルガンの法則は確率論で利用され、複合事象の補数を単純化することができます。^{[ 18 ]}「両方ではない」または「どちらでもない」を含む式は、より扱いやすい形式に書き換えることができます。

コンピュータサイエンスでは、これらの法則は条件文を書き換える際によく適用されます。コード内の複合条件を否定するには、AND条件を否定された要素を持つOR条件に変換する必要があり、これらの法則がアルゴリズム設計時の可読性と正確性の両方をどのように向上させるかを示しています。^{[ 19 ]}

ド・モルガンの法則は形式的な証明においても有用である。論理的な命題を同等の形式に変換することで、議論の構築と検証が容易になる。

参考文献

↑ Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2016). Introduction to Logic . doi : 10.4324/9781315510897 . ISBN 9781315510880。
↑ハーレー、パトリック・J. (2015)、『論理学入門』（第12版）、Cengage Learning、ISBN 978-1-285-19654-1
↑ムーア、ブルック・ノエル（2012）。『クリティカル・シンキング』リチャード・パーカー編（第10版）。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-803828-0OCLC 689858599。
↑ド・モルガンの定理
↑ブール代数（RL Goodstein著）。ISBN 0-486-45894-6
↑ SPバリ著『デジタルエレクトロニクスにおける2000の解決済み問題集』
↑アーヴィング・M・コピ著『論理学入門』
↑ Weisstein, Eric W. "de Morgan's Laws" . mathworld.wolfram.com . 2026-04-15に取得.
↑アーヴィング・M・コピ著『論理学入門』
↑ 「ド・モルガンの定理」。ミドルテネシー州立大学。 2008年3月23日にオリジナルからアーカイブ済み。
↑ Gastaldi, Juan Luis (2024), "形式論理の出現におけるド・モルガンの法則の双対性" , Krömer, Ralf; Haffner, Emmylou (編), Duality in 19th and 20th Century Mathematical Thinking , vol. 63, Cham: Springer Nature Switzerland, pp. 61–99 , doi : 10.1007/978-3-031-59797-8_3 , ISBN 978-3-031-59796-12026年5月18日取得
↑ De Morgan, Augustus (2014-08-21). Formal Logic: Or, The Calculus of Inference, Necessary and Probable (1 ed.). Cambridge University Press. pp. 115–116 . doi : 10.1017/cbo9781107280991 . ISBN 978-1-108-07078-2。
↑ Bocheński, IM (1961).形式論理の歴史. ノートルダム、インディアナ州:ノートルダム大学出版局. p. 207. LCCN 58014183 .
↑オッカムのウィリアム、『Summa Logicalae』、パート II、セクション 32 および 33。
↑ジャン・ブリダン、『弁証法の要約』。ギュラ・クリマ訳。ニューヘイブン：イェール大学出版局、2001年。特に第1論文第7章第5節を参照。ISBN 0-300-08425-0
↑ロバート・H・オーア。「オーガスタス・ド・モーガン（1806–1871）」。インディアナ大学・パデュー大学インディアナポリス校。 2010年7月15日にオリジナルからアーカイブ済み。
↑ Wirth, Niklaus (1995), Digital Circuit Design for Computer Science Students: An Introductory Textbook , Springer, p. 16, ISBN 9783540585770
↑ムーア、ブルック・ノエル。『クリティカル・シンキング』
↑ヴィルト、ニクラウス。『コンピュータサイエンス学生のためのデジタル回路設計』

外部リンク

「双対性原理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
ワイスタイン、エリック・W. 「ド・モルガンの法則」。マスワールド。
PlanetMathのド・モルガンの法則。
論理と言語における二元性、インターネット哲学百科事典。

[1] Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2016). Introduction to Logic . doi : 10.4324/9781315510897 . ISBN 9781315510880。

[2] ハーレー、パトリック・J. (2015)、『論理学入門』（第12版）、Cengage Learning、ISBN 978-1-285-19654-1

[3] ムーア、ブルック・ノエル（2012）。『クリティカル・シンキング』リチャード・パーカー編（第10版）。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-803828-0OCLC 689858599。

[4] ド・モルガンの定理

[r_l_goodstein-5] ブール代数（RL Goodstein著）。ISBN 0-486-45894-6

[6] SPバリ著『デジタルエレクトロニクスにおける2000の解決済み問題集』

[7] アーヴィング・M・コピ著『論理学入門』

[8] Weisstein, Eric W. "de Morgan's Laws" . mathworld.wolfram.com . 2026-04-15に取得.

[9] アーヴィング・M・コピ著『論理学入門』

[10] 「ド・モルガンの定理」。ミドルテネシー州立大学。 2008年3月23日にオリジナルからアーカイブ済み。

[11] Gastaldi, Juan Luis (2024), "形式論理の出現におけるド・モルガンの法則の双対性" , Krömer, Ralf; Haffner, Emmylou (編), Duality in 19th and 20th Century Mathematical Thinking , vol. 63, Cham: Springer Nature Switzerland, pp. 61–99 , doi : 10.1007/978-3-031-59797-8_3 , ISBN 978-3-031-59796-12026年5月18日取得

[12] De Morgan, Augustus (2014-08-21). Formal Logic: Or, The Calculus of Inference, Necessary and Probable (1 ed.). Cambridge University Press. pp. 115–116 . doi : 10.1017/cbo9781107280991 . ISBN 978-1-108-07078-2。

[13] Bocheński, IM (1961).形式論理の歴史. ノートルダム、インディアナ州:ノートルダム大学出版局. p. 207. LCCN 58014183 .

[14] オッカムのウィリアム、『Summa Logicalae』、パート II、セクション 32 および 33。

[15] ジャン・ブリダン、『弁証法の要約』。ギュラ・クリマ訳。ニューヘイブン：イェール大学出版局、2001年。特に第1論文第7章第5節を参照。ISBN 0-300-08425-0

[16] ロバート・H・オーア。「オーガスタス・ド・モーガン（1806–1871）」。インディアナ大学・パデュー大学インディアナポリス校。 2010年7月15日にオリジナルからアーカイブ済み。

[17] Wirth, Niklaus (1995), Digital Circuit Design for Computer Science Students: An Introductory Textbook , Springer, p. 16, ISBN 9783540585770

[18] ムーア、ブルック・ノエル。『クリティカル・シンキング』

[19] ヴィルト、ニクラウス。『コンピュータサイエンス学生のためのデジタル回路設計』

1 ] [

2 ] [

3 ] （

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ] 。

[ 9 ]

。

が彼自身

[

[

[

[

[

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

ド・モルガンの法則

正式な表記法

置換フォーム

集合論

任意の数の集合の和集合と積集合

ブール代数

エンジニアリング

テキスト検索

実例

歴史

ブール代数の証明

論理和の否定

論理積の否定

集合論の証明

パート1

パート2

結論

ド・モルガンの双対性の一般化

述語論理と様相論理への拡張

直観主義論理学では

コンピュータ工学において

応用範囲の拡大

関連項目

参考文献

外部リンク

関連するトピック

ベン図

命題論理

ブール代数

有効な