結晶学的点群

結晶学において、結晶点群とは、その対称操作が三次元結晶格子の並進対称性と両立する三次元点群のことである。結晶学的制約によれば、一回、二回、三回、四回、六回の回転または回転反転のみを含むことができる（反転中心と鏡面は、一回および二回の回転反転と同等の操作として含まれることに注意）。これにより、結晶点群の数は（無限に存在する一般点群から）32に減少する。これらの32の群は、1830年にヨハン・フリードリヒ・クリスティアン・ヘッセルが観察された結晶形態の考察から導き出した32種類の形態学的（外部）結晶対称性と同じである。1867年、ヘッセルの以前の研究を知らなかったアクセル・ガドリンは、立体投影を用いて32群の対称要素を表すことにより、結晶点群を独自に発見した。^[¹^]^：³⁷⁹

結晶の分類において、各空間群には、対称操作の並進成分を「無視」することによって、すなわち、らせん回転を回転に、すべり反射を反射に変換し、すべての対称要素を原点に移動することによって、結晶学的点群が関連付けられます。各結晶学的点群は、その結晶の（幾何学的）結晶クラスを定義します。

結晶の点群は、とりわけ、複屈折などの光学的特性や、ポッケルス効果などの電気光学的特性など、その構造から生じる物理的特性の方向性変化を決定する。

表記法

点群は、構成要素の対称性に基づいて命名される。結晶学者、鉱物学者、物理学者によって用いられる標準的な表記法がいくつか存在する。

以下の2つのシステムの対応については、結晶システムを参照してください。

シェーンフリース記譜法

シェーンフリース記法では、点群は添え字付きの文字記号で表されます。結晶学で使用される記号は、以下の意味を持ちます。

C _n ( cyclicの略) は、群がn回回転軸を持つことを示します。C _nhは、C n_に回転軸に垂直な鏡面 (反射面) を追加したものです。C _nvは、C n_に回転軸に平行な n 個の鏡面を追加したものです。
S _2n ( Spiegel、ドイツ語で鏡) は、 2n回の回転反射軸のみを持つ群を表します。
D _n（二面体、または両面）は、群がn回回転軸と、その軸に垂直なn個の2回回転軸を持つことを示します。D _nhは、さらにn回回転軸に垂直な鏡面を持ちます。D _ndは、 D _nの要素に加えて、 n回回転軸に平行な鏡面を持ちます。
文字T (正四面体を表す) は、群が正四面体の対称性を持つことを示します。T d_は不適切な回転操作を含み、T は不適切な回転操作を除外し、T _hはTに反転を加えたものです。
文字O (正八面体を表す) は、グループが正八面体の対称性を持ち、不適切な操作 (キラリティを変更する操作)がある場合 ( O _h ) とない場合 ( O ) があることを示します。

結晶学的制限定理により、 2次元または3次元空間ではn = 1、2、3、4、または6となる。

D _4dとD _{6d は}、それぞれ n=8 と 12 の不適切な回転を含むため、実際には禁止されています。表中の 27 個の点群にT、T _d、T _h、OおよびO _hを加えると、32 個の結晶学的点群が構成されます。

ヘルマン＝モーガン記法

空間群によく用いられるヘルマン・モーガン記法の簡略形は、結晶学的点群の記述にも用いられる。群名は

異なる表記法間の対応関係

グラフ表示

点群の対称性を直感的に理解するために、点群をグラフィカルに表示することは一般的です。通常、角度関係を保持するため、立体投影が使用されます。投影には 2 種類あります。ここに示した最初の投影は、対称要素の投影で、それらの相互の角度関係を表示します。この場合、各対称要素は、下の表に示す記号で表されます。細い線は、立体投影の球面と、鏡面と交差しない回転軸または回転反転軸を区切るために使用されます。鏡面は太線で表されます。2 種類目の投影は、一般的な点と、点群の対称要素を使用してその初期点から生成されたすべての追加点の投影です。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

同型写像

2 つの群の間に全単射かつ準同型写像が存在する場合、それらの群は同型であると言われます。つまり、一方の群の要素をもう一方の群の要素で適切な方法で単に名前変更するだけで、もう一方の群が得られ、その逆もまた同様です。多くの結晶学的点群はこの意味で同じ内部構造を共有しています。たとえば、点群1、2 、m はそれぞれ異なる幾何学的対称操作 (反転、回転、反射) を含みますが、すべて巡回群C ₂の構造を共有しています。すべての同型群は同じ位数ですが、同じ位数のすべての群が同型であるとは限りません。同型である点群は次の表に示されています。^[⁶^]

この表では、環状群(C ₁、 C ₂、 C ₃、 C ₄、 C ₆ )、二面体群(D ₂、 D ₃、 D ₄、 D ₆ )、交代群の 1 つ(A ₄ )、および対称群の 1 つ(S ₄ ) を使用しています。ここで、記号「×」は直積を表します。

空間群から結晶点群（結晶クラス）を導出する

ブラベー格子タイプは除外してください。
並進成分を持つすべての対称要素を、並進対称性を持たないそれぞれの対称要素に変換します。（すべり面は単純な鏡面に変換され、ねじ軸は単純な回転軸に変換されます。）
回転軸、回転反転軸、および鏡面は変化しない。

結晶特性を理解する上での対称性

物質の対称性は、その結晶が示すことができる特性に大きな影響を与える可能性があります。これらの影響は、フォン・ノイマンの原理^{[ 7 ]}およびより一般的にはキュリーの法則^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}にまとめられています。これらの法則は、結晶の物理的特性の対称性が、結晶自体の対称性と少なくとも同程度でなければならないことを示しています。よく挙げられる例は、圧電性と焦電性です。これらの特性は、歪みや熱変化を受けた結晶に電気双極子を生成します。電気双極子は方向性を持つため、反転対称性を持つ結晶には存在できません。しかし、その逆は真ではありません。反転対称性を持たない結晶が、必ずしも圧電性や焦電性を示すとは限りません。

多結晶における対称性

多結晶体は、様々な方位を持つ多数の微小結晶から構成されています。理想的な場合、十分に大きな試料中に十分に小さな結晶が存在すると、あらゆる方位が網羅され、ほぼ等方性の材料となります。これにより、多結晶体は、それを構成する個々の結晶よりも高い対称性を持つ特性を示すことができます。例えば、理想的な多結晶体や焦電性結晶は、あらゆる方向に電気双極子を持ち、それらが互いに打ち消し合うため、多結晶体全体の分極はゼロになります。

キュリー群として知られる結晶学的点群の拡張により、各結晶子の配向の対称性によって多結晶の対称性を記述することができます。理想的な多結晶では、すべての配向が同一であり、これは ∞∞ で与えられるすべての方向で無限の回転対称性を持つと考えることができます。これは、2 つの垂直な回転軸を表します。これにより、多結晶が正味のキラリティを持つ場合は ∞∞ 群、正味のキラリティがない場合は ∞∞m 群の 2 つが得られます。残りのキュリー群は、キュリーの原理を使用して理想的な対称性から導き出すことができます。^{[ 11 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}キュリーの原理は、刺激の下での (多)結晶の対称性は、刺激の対称性と (多)結晶の対称性の交点であると述べています。以下は、異なる対称性を生成するために異なる刺激にさらされた理想的な多結晶から得られる 7 つのキュリー群と mmm、および 222 を示す表です。

多結晶への対称性の拡張は、製造において非常に大きな価値を持つ。なぜなら、純粋な単結晶を必要とせず、低対称性を示す多結晶サンプルを生成できるからである。さらに、単結晶を慎重に配向させるのではなく、製造プロセスによって特性を方向付けることも可能になる。例えば、焦電性が必要な場合、適切な材料の多結晶を作製し、強い電場にさらすことで、各結晶子の双極子をその電場の方向に再配向させることができる。こうして得られた多結晶は、電場が印加された方向に沿って焦電性を示す。

磁気ポイントグループ

磁性などの物質特性の中には、反対称性、磁気対称性、時間反転対称性、または二色対称性と呼ばれる、別の形の対称性を示すものがあります。この新しい対称性は、スピンなどの二値状態を反転させ、他の対称要素に付随します。対象となる特性に関わらず、特定の点における二値状態は通常、黒点または白点のいずれかで表されるため、「二色対称性」という名前が付けられています。

例：

磁気の古典的なモデルでは、電子のスピンを磁気双極子を生成する電流ループとみなし、これは擬似ベクトルで表すことができます。双極子に垂直な鏡面が作用すると、電流ループ（スピン）は元の状態のままで、同じ双極子になります。双極子に平行な鏡面が作用すると、電流ループ（スピン）は反転し、反対の双極子になります。これらのどちらの場合も、鏡面に反対称性を加えることができます。鏡の空間的な効果は変わりませんが、バイナリ状態への影響は反転します。つまり、通常の鏡がスピンを反転させた場合、反対称の鏡は反転させません。

結晶点群に反対称性を加えることで、122 個の磁気群が生成されます。これらの 122 個のうち、32 個は元の結晶点群であり、32 個はいわゆるグレー群で、特性の黒と白の状態が同じ点で重なります。残りの 58 個の群は、磁性などの二色性特性を示すことができます。^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

参考文献

↑ Authier, André (2015). "12. 空間格子概念の誕生と発展". X線結晶学の黎明期. オックスフォード: オックスフォード大学出版局. doi : 10.1093/acprof:oso/9780199659845.003.0012 . ISBN 97801987540532024年12月24日に取得。
↑ 「（国際表）要約」。 2011年11月25日取得。{{cite web}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク)
↑ Rohrer, Gregory S. (2001). Structure and Bonding in Crystalline Materials . Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-15333-4。
↑国際結晶学表。doi : 10.1107 / 97809553602060000001。ISBN 978-1-4020-4969-9。
↑ X線結晶学国際表（PDF）（第3版）。キノックプレス。1969年。
↑ Novak, I (1995-07-18). "分子同型性". European Journal of Physics . 16 (4). IOP Publishing: 151–153 . Bibcode : 1995EJPh...16..151N . doi : 10.1088/0143-0807/16/4/001 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250887121 .
↑ 「ノイマンの原理」（オンライン結晶学辞典より）。2017年11月16日。
↑ 「キュリーの法則（オンライン結晶学辞典より）」 2017年11月9日。
1 2キュリー、P. (1894)。「現象的な身体の対称性、シャン・シャンの電気とシャン・マグネティックの対称性」。Journal de Physique Théorique et Appliquée (フランス語)。3 (1): 393–415 . doi : 10.1051/jphystap:018940030039300。ISSN 0368-3893。
1 2 Curie, Pierre; Commentary), Andrzej Ziółkowski (翻訳および (2024-09-11). "On Symmetry in Physical Phenomena, Symmetry of an Electric Field and of a Magnetic Field" . Studia Historiae Scientiarum . 23 : 23– 67. doi : 10.4467/2543702XSHS.24.002.19575 . ISSN 2543-702X .
↑ Hahn, Th.; Klapper, H.; Müller, U.; Aroyo, MI (2016-12-31), Point groups and crystal classes , pp. 720– 776, doi : 10.1107/97809553602060000930 , 2025-12-16取得
↑ Litvin, DB 編 (2013 年 4 月).磁気群表: 1 次元、2 次元、3 次元の磁気部分周期群と磁気空間群. チェスター、イングランド: 国際結晶学連合. doi : 10.1107/9780955360220001 . ISBN 978-0-9553602-2-0。
↑ De Graef, Marc (2009). 3次元レンダリングによる視覚化を用いた結晶学的および磁気的点群対称性の教育(PDF)。

外部リンク

国際結晶学表（2006年版）における点群記号。第A巻、第12.1章、818-820ページ
国際結晶学表（2006年版）に掲載されている32の結晶クラスの名称と記号。第A巻、第10.1章、794ページ。
32グループの図解概要
Kostov, RI 2024. 結晶系における鉱物の統計を含む32の対称性クラスのカラー表。– 対称性：文化と科学（Symmetry Festival 2024。2024年7月17日～20日、イタリア、ピサ。「傾斜」対称性。会議議事録；編者：S. Brasili、J. Gielis）、単巻、91-94。https ://doi.org/10.26830/symmetryfestival2024_24

[Authier-1] Authier, André (2015). "12. 空間格子概念の誕生と発展". X線結晶学の黎明期. オックスフォード: オックスフォード大学出版局. doi : 10.1093/acprof:oso/9780199659845.003.0012 . ISBN 97801987540532024年12月24日に取得。

[2] 「（国際表）要約」。 2011年11月25日取得。{{cite web}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク)

[3] Rohrer, Gregory S. (2001). Structure and Bonding in Crystalline Materials . Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-15333-4。

[4] 国際結晶学表。doi : 10.1107 / 97809553602060000001。ISBN 978-1-4020-4969-9。

[5] X線結晶学国際表（PDF）（第3版）。キノックプレス。1969年。

[6] Novak, I (1995-07-18). "分子同型性". European Journal of Physics . 16 (4). IOP Publishing: 151–153 . Bibcode : 1995EJPh...16..151N . doi : 10.1088/0143-0807/16/4/001 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250887121 .

[7] 「ノイマンの原理」（オンライン結晶学辞典より）。2017年11月16日。

[8] 「キュリーの法則（オンライン結晶学辞典より）」 2017年11月9日。

[:0-9] 1 2キュリー、P. (1894)。「現象的な身体の対称性、シャン・シャンの電気とシャン・マグネティックの対称性」。Journal de Physique Théorique et Appliquée (フランス語)。3 (1): 393–415 . doi : 10.1051/jphystap:018940030039300。ISSN 0368-3893。

[:1-10] 1 2 Curie, Pierre; Commentary), Andrzej Ziółkowski (翻訳および (2024-09-11). "On Symmetry in Physical Phenomena, Symmetry of an Electric Field and of a Magnetic Field" . Studia Historiae Scientiarum . 23 : 23– 67. doi : 10.4467/2543702XSHS.24.002.19575 . ISSN 2543-702X .

[11] Hahn, Th.; Klapper, H.; Müller, U.; Aroyo, MI (2016-12-31), Point groups and crystal classes , pp. 720– 776, doi : 10.1107/97809553602060000930 , 2025-12-16取得

[12] Litvin, DB 編 (2013 年 4 月).磁気群表: 1 次元、2 次元、3 次元の磁気部分周期群と磁気空間群. チェスター、イングランド: 国際結晶学連合. doi : 10.1107/9780955360220001 . ISBN 978-0-9553602-2-0。

[13] De Graef, Marc (2009). 3次元レンダリングによる視覚化を用いた結晶学的および磁気的点群対称性の教育(PDF)。

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]