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製図やコンピュータグラフィックスにおいて、多面投影は、 3次元物体の形状を表すために、標準化された一連の正投影2次元図を作成する作図技法です。物体を最大6枚の図（主投影図と呼ばれる）で表現し、各投影面は物体の座標軸のいずれかに平行です。これらの図は、第一角法または第三角法のいずれかの方式に従って互いに相対的に配置されます。どちらの方式においても、図の外観は、物体を囲む6面体の平面に投影されていると考えることができます。6つの異なる面を描くことができますが、通常は3つの図で3次元物体を表すのに十分な情報が得られます。
これら3つの図は、正面図（立面図とも呼ばれる）、上面図または平面図、および端面図（プロファイル図または断面図とも呼ばれる）として知られています。
描かれている物体の平面または軸が投影面と平行ではなく、同じ画像に物体の複数の側面が見える場合、それは補助ビューと呼ばれます。
このような画像をレンダリングするには、対象物に向かう視線（投影線、投影光線、または視線とも呼ばれる）が選択され、対象物上のさまざまな注目点（たとえば、視線に沿って対象物を見たときに見える点）が決定されます。これらの注目点は、正射投影によって、視線に垂直な幾何学的平面（投影面または画像平面と呼ばれる）上の点にマッピングされ、それによって3Dオブジェクトの2D表現が作成されます。
慣例として、物体の座標系の3 つの軸それぞれに対して 2 つの視線が選択されます。つまり、各軸に平行に、物体は 2 つの反対方向のいずれかで見ることができ、物体の正射投影 (または「ビュー」) は合計 6 つになります。[ 1 ]
これら 6 つの投影面は互いに交差し、対象物を囲むボックスを形成します。最も均一な構造は立方体です。従来、これら 6 つのビューは、まず 3D オブジェクトを立方体の 2D 面に投影し、次に立方体の面を「展開」して、すべての面が同じ平面 (つまり、すべての画像が一緒に表示される媒体の平面、例えば紙やコンピュータ モニターなど) 内に収まるようにすることで一緒に表示されます。しかし、ボックスの面が 1 つの標準化された方法で展開されたとしても、特定の面がどの投影を表示しているかについては曖昧さがあります。立方体には視線に垂直な 2 つの面があり、関心のある点はどちらかの面に投影される可能性があります。この選択により、投影には 2 つの主要な標準が生まれました。
多面図投影法は、対象物の主要な視点を、それぞれ主座標軸のいずれかに平行な方向から見た図として表示します。これらの主要な視点は、平面図および立面図と呼ばれます。場合によっては、対象物が切断または断面化されて内部が露出したかのように表示されることもあります。このような図は断面図と呼ばれます。
平面図とは、3次元物体を真上（または真下）から見た図のことです。物体の上または下を通る水平面の位置で描かれることがあります。この図における形状の輪郭は、例えば航空機の翼のように、平面形状と呼ばれることもあります。
建物を上から見た平面図を屋根伏図といいます。壁を通して水平面に見た断面図で、下の床面を示すものを平面図といいます。
立面図とは、物体の横にある垂直面から見た三次元物体の図のことです。言い換えれば、立面図とは正面、背面、左側面、右側面から見た側面図のことです（「正面図」、「左側面図」、「右側面図」、および「背面図」と呼ばれます）。
立面図は、3次元物体の外観形状や細部を2次元で表現する一般的な手法です。建物のファサードは、建築図面や技術図面において立面図として示されます。
立面図は、建物の外観を外部から伝えるための最も一般的な正投影法です。透視図もこの目的でよく使用されます。建物の立面図は通常、建物が向いている方位、つまり人が建物を見る方向に応じてラベル付けされます。たとえば、建物の北立面図は、方位磁石で真北に最も近い面です。[ 2 ]
内装立面図は、木工細工や装飾の構成などの詳細を示すために使用されます。
建築業界において、立面図とは、建物の構造を透視図ではなく、実際の形状に基づいて描いた図のことです。これらの図は縮尺に合わせて描かれるため、必要なあらゆる角度から寸法を測ることができます。図面セットには、正面図、背面図、および両側面図が含まれます。立面図には、棟の高さ、敷地の最終的な傾斜位置、外装仕上げ、屋根勾配、その他の建築上の詳細など、建物の様々なファサードの構成が明記されています。
展開立面図は、通常の立面図の一種で、平行でない複数の隣接する側面を、まるで展開したかのように並べて表示します。例えば、北面図と西面図を辺を共有して並べて表示することができますが、これは正確な正投影図ではありません。
断面、または横断面とは、3次元物体を貫通する平面の位置から見た図のことである。
断面図は、3次元物体の内部構造を2次元で表現する一般的な手法です。技術図面でよく用いられ、伝統的に斜線で描かれます。斜線の描き方は、断面が通過する材料の種類を示すことが多いです。
コンピュータ断層撮影法では、コンピュータがX線データから断面像を作成する。
補助図または透視図は、6 つの基本図以外の平面に投影された正投影図です。[ 3 ] これらの図は、通常、物体が斜面にある表面を持つ場合に使用されます。斜面に平行な平面に投影することで、表面の実際のサイズと形状が示されます。補助図は、等角投影を使用して描かれることがよくあります。
現代の正射投影法は、ガスパール・モンジュの記述幾何学に由来する。[ 4 ]モンジュは、水平方向のH（「地面」）と垂直方向のV （「背景」）という2つの視線平面からなる参照系を定義した。これらの2つの平面は交差して3D空間を4つの象限に分割し、彼はそれらを次のようにラベル付けした。
これらのラベルは、2D平面幾何学（）で使用されるものと同じで、 HとVをそれぞれX軸とY軸として、無限に遠く「左」から見た場合です。
対象となる3Dオブジェクトは、第I象限または第III象限（つまり、2つの平面の交線の位置が移動）に配置され、それぞれ第1角法投影図と第3角法投影図が得られます。第II象限と第IV象限も数学的には有効ですが、これらを使用すると、一方のビューが「真」のビューとなり、もう一方のビューが垂直中心線を基準に180°「反転」したビューとなるため、技術図面には複雑すぎます。（天井を上から見下ろす場合など、このようなビューが有用な場合は、真の正投影図の鏡像である反射ビューが使用されます。）
モンジュの原案では2つの平面のみを使用し、上面図と正面図しか得られません。側面図（左または右）を示すために3つ目の平面を追加するのは、現代的な拡張です。象限という用語はやや時代錯誤的で、3つの視点を持つ現代の正投影法は、3次元空間の八分円により正確に対応します。
第一角法では、対象物は概念的に第1象限に位置します。つまり、対象物は視平面の上方かつ手前に浮かび、視平面は不透明で、各ビューは対象物を通して最も遠い平面に投影されます。（覚え方：「舞台上の俳優」）。6 面の箱に拡張すると、対象物の各ビューは、対象物の視線の方向（感覚）に沿って、箱の（不透明な）内壁に投影されます。つまり、対象物の各ビューは箱の反対側に描かれます。次に、箱を「展開」してすべての内壁を表示することで、対象物の 2 次元表現が作成されます。これにより、2 つの平面と 4 つの立面図が生成されます。これを視覚化する簡単な方法は、対象物を逆さまにしたボウルの上に置くことです。対象物をボウルの右端に沿ってスライドさせると、右側面図が表示されます。
第三角法では、対象物は概念的に第III象限に位置します。つまり、対象物は視平面の下方かつ後方に位置し、視平面は透明であり、各ビューは対象物に最も近い平面上に投影されます。六角形の視箱を用いると、対象物の各ビューは視線の方向（感覚）とは反対方向に、視箱の（透明な）外壁に投影されます。つまり、対象物の各ビューは視箱の対応する面に描かれます。その後、視箱を広げると、すべての外壁を見ることができます。
以下は、上記と同じ対象物の第三角法投影図です。個々の図は同じですが、配置が異なります。
第一角法は、物体が紙の上に置かれているかのように、正面から見て、左側面を示すために右に転がしたり、底面を示すために上に転がしたりする図です。ヨーロッパとアジア（日本を除く）では標準となっています。第一角法はイギリスで広く使われていましたが、第二次世界大戦中、ロールス・ロイス・マーリンなどのイギリス製の図面は、パッカードV-1650マーリンなどのようにアメリカで製造するために送られ、製造される前に第三角法で描かれなければなりませんでした。そのため、一部のイギリス企業は完全に第三角法を採用しました。BS 308（パート1）エンジニアリング製図実務では、両方の投影法を使用するオプションがありましたが、一般的に、（第一角法と第三角法の違いを説明する図を除いて）すべての図は第一角法で描かれていました。 1999年にBS 308が廃止された後、BS 8888はISO 5456-2「技術図面－投影法－第2部：正投影表現」を直接参照していたため、同じ選択肢を提供しました。
第三角法は、対象物を箱に見立てて展開するようなものです。箱を展開して正面図が両腕の中央に来るようにすると、上面図はその上、底面図はその下、左面図はその左、右面図はその右に位置します。これは、米国（ASME Y14.3-2003で標準投影法として規定）、日本（JIS B 0001:2010で標準投影法として規定）、カナダ、オーストラリア（AS1100.101で推奨投影法として規定）で標準となっています。
第一角法と第三角法はどちらも同じ6つの投影図を生成しますが、両者の違いは、これらの投影図を箱の周囲に配置する方法にあります。
製図室や技術部門では、図面をある規格から別の規格に移行する際に、大きな混乱が生じています。技術図面では、投影法は、右図に示すように、第一角法または第三角法のいずれかで切頭円錐を表す国際記号で示されます。
3D表現では、小さな端が鑑賞者側を向いた円錐台形になります。正面図は、2つの同心円で構成されています。内側の円が破線ではなく実線で描かれていることから、この図は背面図ではなく正面図であることがわかります。側面図は二等辺台形です。
正射多視点投影は記述幾何学の原理に基づいており、空間のあらゆる方向から見た特定の仮想物体の像を生成することができます。正射投影の特徴は、投影対象物のすべての点から平行な投影線が発せられ、それらが直角に交わることです。上記では、対象物を目的の位置に回転させた後に画像を投影することで、様々な視点を得る手法について説明しました。
記述幾何学では、通常、物体が静止していると想定し、投影（視点）の方向を変えることで、目的の視点を得るという手法が用いられる。
図1を参照してください。上記の回転手法を用いると、傾斜面を垂直に見た正投影図は得られないことに注意してください。例えば、技術者が、表面に垂直に開ける穴を通して見るような正投影図を必要とするとします。このような図は、クリアランスの計算や寸法記入のために必要となる場合があります。複数回の回転を行わずにこの図を得るには、記述幾何学の原理が必要です。以下の手順では、第三角法におけるこれらの原理の利用方法について説明します。
第一角法は世界のほとんどの地域で使用されています。[ 5 ]
第三角法は米国[ 6 ]および日本（JIS B 0001：2010）[ 7 ]で最も一般的に使用されており、AS 1100.101—1992 6.3.3に規定されているようにオーストラリアでも好まれています。[ 8 ]
英国では、BS8888 9.7.2.1 により、図面の配置方法として、ラベル付き図面、第三角法、第一角法の 3 つの異なる規則が認められています。
BS 308 (パート 1) エンジニアリング製図の実践 BS 8888 技術製品文書および仕様 ISO 5456-2 技術図面 - 投影法 - パート 2: 正投影表現 (円錐台記号を含む)
