クレイマーの法則

線形代数において、クラメルの公式は、未知数の数と同じ数の方程式を持つ連立一次方程式の解を求める明示的な公式であり、連立方程式が一意解を持つ場合に有効です。これは、(正方)係数行列の行列式と、方程式の右辺の列ベクトルで1つの列を置き換えることによって得られる行列の行列式を用いて解を表します。この公式は、1750年に任意の数の未知数に対する公式を発表したガブリエル・クラメルにちなんで名付けられました^[¹^]^[²^]。ただし、コリン・マクローリンも1748年にこの公式の特殊な場合を発表しており^[³^]、おそらく1729年にはすでにこの公式を知っていたと考えられます^[⁴^]^[⁵^]^[⁶^]。

一般的なケース

$n個$ の未知数に対する $n個$ の線形方程式系を考えます。これは、行列乗算の形式で次のように表されます。

A\mathbf {x} =\mathbf {b}

ここで、 $n \times n$ 行列 $A$ はゼロでない行列式を持ち、ベクトルは $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ は変数の列ベクトルです。すると、この場合、システムは一意の解を持ち、未知数の個々の値は次のように与えられるという定理が示されます。

x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n

どこ $A_{i}$ $は、行列A$ の $i$ 番目の列を列ベクトル $b$ で置き換えることによって形成される行列です。

^{クレイマーの公式[ 7 ]}のより一般的なバージョンでは、行列方程式を考慮する。

AX=B

ここで、 $n \times n$ 行列 $A$ はゼロでない行列式を持ち、 $X$ と $Bは$ $n \times m$ 行列である。与えられた数列 $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n$ そして $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m$ 、させて $X_{I,J}$ $X$ の k × k 部分行列 $で$ $、$ 行 $は$ $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ および列 $J:=(j_{1},\ldots ,j_{k})$ 。させて $A_{B}(I,J)$ $n \times n$ 行列を置き換えることによって形成される。 $i_{s}$ $A$ の列による $j_{s}$ $B$ の列、すべての $s=1,\ldots ,k$ 。それから

\det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.

の場合 $k=1$ これは通常のクラメルの公式に帰着する。

この規則は、係数と未知数が実数だけでなく任意の領域にある連立方程式にも適用されます。

証拠

クラメルの公式の証明では、行列式の以下の性質を利用します。任意の列に関して線形であること、そして2つの列が等しい場合は行列式がゼロになるという事実です。これは、2つの列を入れ替えると行列式の符号が反転するという性質から導かれます。

列のインデックス $j$ を固定し、他の列のエントリは固定値を持つと仮定します。これにより、行列式は $j$ 番目の列のエントリの関数になります。この列に関して線形であるということは、この関数が次の形式になることを意味します。

D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j},

どこで $C_{i,j}$ $これらは、列j$ に含まれない $A$ の要素に依存する係数です。したがって、次のようになります。

\det(A)=D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}

（ラプラス展開は、 $C_{i,j}$ しかし、彼らの表現はここでは重要ではない。）

関数が $D_{j}$ $A$ の他の任意の列 $k$ に適用すると、結果は、列 $jを列$ $k$ のコピーで置き換えることによって $A$ から得られる行列の行列式となるため、結果として得られる行列式は 0 になります (2 つの列が同じ場合)。

$ここで、 n個の$ 未知数を持つ $n個$ の線形方程式のシステムを考えてみましょう。 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 係数行列が $A$ であり、det( A ) はゼロでないと仮定する。

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}

これらの式を、最初の式に $C 1, j$ $を掛け、さらにC 2, j$ に 2 を掛け、といった具合に $C n, j$ に最後の式を掛けるまで組み合わせると、すべての $kに対して、結果として得られる$ $x k$ の係数は次のようになります。

D_{j}(a_{1,k},\ldots ,a_{n,k}).

したがって、係数を除くすべての係数はゼロになります。 $x_{j}$ それは $\det(A).$ 同様に、定数係数は次のようになります。 $D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$ 結果として得られる方程式は次のようになる。

\det(A)x_{j}=D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),

これは、 $x_{j}$ として

x_{j}={\frac {1}{\det(A)}}D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}).

$構成上、分子は行列Aの$ $j列目を$ $b列$ 目に置き換えて得られる行列の行列式であるため、解の必要条件としてクラメルの公式の式が得られます。

これらの未知数の値が解を形成することを証明する必要がある。M を $係数$ を持つ $n \times n$ 行列とする。 $D_{j}$ $j$ 番目の行として、 $j=1,\ldots ,n$ （これは $A$ の随伴行列です。）行列の項で表すと、次のことを証明する必要があります。

\mathbf {x} ={\frac {1}{\det(A)}}M\mathbf {b}

は解決策です。つまり、

A\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\mathbf {b} =\mathbf {b} .

そのためには、次のことを証明すれば十分である。

A\,\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)=I_{n},

どこ $I_{n}$ は単位行列です。

上記の関数の特性 $D_{j}$ $MA = det(A) I n$ であることを示し、したがって、

\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\,A=I_{n}.

これで証明は完了です。なぜなら、正方行列の左逆行列は右逆行列でもあるからです（可逆行列定理を参照）。

その他の証明については、以下を参照してください。

逆行列を求める

$Aを$ 体 $F$ の要素を持つ $n \times n$ 行列とする。

A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)I

ここで、 $adj(A)は$ 共役行列、 $det(A)$ は行列式、 $I$ は単位行列を表します。det $(A)がゼロでない場合、$ $A$ の逆行列は次のようになります。

A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A).

これは、 $det($ $A$ $) \neq 0の場合に、$ $A$ の逆元を求める公式を与えます。実際、この公式は、 $det($ $A$ $)$ が単元である限り、 $F が$ 可換環である限り有効です。det $($ $A$ $)$ が単元でない場合、 $A は環上で可逆ではありません（$ $F$ の非単元の一部が可逆であるような、より大きな環上では可逆になる可能性があります）。

アプリケーション

小規模システムに対する明示的な公式

線形システムを考える

\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.

行列形式で表すと

{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}.

$a 1 b 2 - b 1 a 2$ がゼロでないと仮定します。すると、行列式を用いて、クラメルの公式により $x$ と $y$ を求めることができます。

{\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.

$3 \times 3$ 行列のルールも同様です。

\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.

行列形式で表すと

{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.

$すると、x、y$ 、 $z$ の値は次のように求められます。

x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.

微分幾何学

リッチ計算

クラメルの公式は、リッチ計算において、第一種および第二種のクリストッフェル記号を含む様々な計算に用いられる。 ^{[ 8 ]}

特に、クレイマーの規則は、リーマン多様体上の発散作用素が座標変換に関して不変であることを証明するために使用できます。クリストッフェル記号の役割を排除して、直接的な証明を与えます。 $(M,g)$ 局所座標を備えたリーマン多様体である $(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})$ 。させて $A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ ベクトル場とする。以下では総和規約を用いる。

定理。

乖離 $A$ 、

\operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right),

座標変換に対して不変である。

導関数を暗黙的に計算する

次の2つの方程式を考えてみましょう。 $F(x,y,u,v)=0$ そして $G(x,y,u,v)=0$ uとvが独立変数である場合、次のように定義できます。 $x=X(u,v)$ そして $y=Y(u,v).$

方程式 ${\dfrac {\partial x}{\partial u}}$ クレイマーの公式を適用することで求めることができます。

整数計画法

クラメルの公式を用いると、制約行列が完全ユニモジュラーであり、右辺が整数である整数計画問題は、整数の基本解を持つことを証明できる。これにより、整数計画問題の解法が大幅に容易になる。

常微分方程式

クラメルの公式は、定数変化法によって非斉次線形微分方程式の一般解を導出するために使用されます。

例

2x2システム

線形システムを考える

{\begin{matrix}12x+3y&=15\\2x-3y&=13\end{matrix}}

クラメルの公式を適用すると

{\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}15&3\\{13}&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}12&3\\2&-3\end{vmatrix}}}={-84 \over -42}={\color {red}2},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}12&15\\2&{13}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}12&3\\2&-3\end{vmatrix}}}=-{126 \over 42}={\color {red}-3}\end{aligned}}.

これらの値は、元の式に代入し直すことで検証できます。 $12x+3y=(12\times {\color {red}2})+(3\times ({\color {red}-3}))=24-9=15$ そして $2x-3y=(2\times {\color {red}2})-(3\times ({\color {red}-3}))=4-(-9)=13,$

必要に応じて。

3x3システム

線形システムを考える

{\begin{matrix}3x-2y+5z&=\color {red}2\\4x-7y-z&=\color {red}{19}\\5x-6y+4z&=\color {red}{13}\end{matrix}}

表記を簡略化するために、 $A={\begin{bmatrix}3&-2&5\\4&-7&-1\\5&-6&4\end{bmatrix}}$ 係数行列として、 $A_{1}={\begin{bmatrix}\color {red}{2}&-2&5\\\color {red}{19}&-7&-1\\\color {red}{13}&-6&4\end{bmatrix}},A_{2}={\begin{bmatrix}3&\color {red}{2}&5\\4&\color {red}{19}&-1\\5&\color {red}{13}&4\end{bmatrix}},A_{3}={\begin{bmatrix}3&-2&\color {red}{2}\\4&-7&\color {red}{19}\\5&-6&\color {red}{13}\end{bmatrix}}.$ 必要な行列式を計算すると、 $|A|=-5,\quad |A_{1}|=-5,\quad |A_{2}|=10,\quad |A_{3}|=5.$

クラメルの公式を適用すると

{\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}A_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={-5 \over -5}={\color {red}1},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}A_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={10 \over -5}={\color {red}-2},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}A_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}={5 \over -5}={\color {red}-1}\end{aligned}}.

これらの値は、元の式に代入し直すことで検証できます。 $3x-2y+5z=(3\times {\color {red}1})-(2\times ({\color {red}-2}))+(5\times ({\color {red}-1}))=3+4-5=2$ $4x-7y-z=(4\times {\color {red}1})-(7\times ({\color {red}-2}))-(1\times ({\color {red}-1}))=4+14+1=19$ $5x-6y+4z=(5\times {\color {red}1})-(6\times ({\color {red}-2}))+(4\times ({\color {red}-1}))=5+12-4=13$

必要に応じて。

アルゴリズム

以下の擬似コードは、線形システムの解を計算するためのクラメルの公式を示しています。 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ ただし、唯一の解決策が存在する場合に限る。

入力:係数行列A、列ベクトルb、変数の数n出力: Ax = bの解を表す列ベクトルx D ← det ( A ) if D = 0 then print("一意解は存在しません。 ") 戻る end if for i ← 1 to n do Aᵢ ← A Aᵢのi列目を列ベクトル b で置き換える xᵢ ← det ( Aᵢ ) / D end if return x

幾何学的解釈

{\displaystyle x_{1}} — クラメルの法則の幾何学的解釈。2番目と3番目の影付き平行四辺形の面積は同じで、2番目は $x_{1}$ 1を掛けた数である。この等式からクラメルの法則が導かれる。

クラメルの公式には幾何学的な解釈があり、それは証明とみなすことも、単にその幾何学的性質についての洞察を与えるものとみなすこともできます。これらの幾何学的な議論は、ここで提示した2つの未知数を持つ2つの方程式の場合だけでなく、一般的に有効です。

与えられた連立方程式

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}

これはベクトル間の方程式と考えることができる

x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.

平行四辺形の面積は、 ${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ そして ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ これは、連立方程式の行列式によって与えられる。

{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.

一般に、変数と方程式が多い場合、長さ $nの$ $nベクトルの行列式は、$ $n$ 次元ユークリッド空間におけるそれらのベクトルによって決定される平行六面体の体積を与えます。

したがって、平行四辺形の面積は次のように決定されます。 $x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ そして ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ しなければならない $x_{1}$ 辺の1つがこの係数で乗算されているため、最初の平行四辺形の面積の倍になります。さて、カヴァリエリの原理により、この最後の平行四辺形は、次の平行四辺形と同じ面積になります。 ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ そして ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}.$

この最後の平行四辺形と2番目の平行四辺形の面積を等しくすると、次の式が得られます。

{\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}

そこからクレイマーの法則が導かれる。

その他の証明

抽象線形代数による証明

これは、上記の証明を抽象的な言葉で言い換えたものです。

地図を考えてみて $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),$ どこ $A_{i}$ 行列は $A$ と $\mathbf {x}$ に置き換えられた $i$ クレイマーの公式のように、番目の列。各列の行列式の線形性により、この写像は線形です。これが次の値を送ることに注意してください。 $i$ の番目の列 $A$ へ $i$ 番目の基底ベクトル $\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)$ （1つは $i$ （番目の位置）は、列が繰り返される行列の行列式が 0 であるためです。したがって、の逆行列と一致する線形写像が得られます。 $A$ 列スペース上。したがって、 $A^{-1}$ 柱空間のスパン上で。 $A$ は可逆であり、列ベクトルはすべての $\mathbb {R} ^{n}$ つまり、私たちの地図は実際には逆です $A$ クレイマーの法則が成り立つ。

簡単な証明

^{クラメルの公式[ 9 ]}の簡単な証明は、次の点に注目することで与えられる。 $x_{1}$ は行列の行列式です

X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\cdots &0\\x_{2}&1&0&\cdots &0\\x_{3}&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

一方、元の行列 $A$ が可逆であると仮定すると、この行列は $X_{1}$ 列があります $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$ 、どこ $\mathbf {v} _{n}$ は行列 $Aの$ n番目の列です。行列は $A_{1}$ 列があります $\mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ したがって $X_{1}=A^{-1}A_{1}$ したがって、2つの行列の積の行列式は行列式の積であるという事実を用いると、次のようになる。

x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}.

他の証拠 $x_{j}$ 同様である。

幾何代数を用いる

矛盾する事例および判断がつかない事例

方程式系は、解が全くない場合を不整合系、解が複数ある場合を不定系と呼びます。線形方程式の場合、不定系は（無限体上の方程式であれば）無限に多くの解を持ちます。これは、解が任意の値をとることができる1つ以上のパラメータで表せるためです。

クラメルの公式は、係数行列式がゼロでない場合に適用されます。2×2行列の場合、係数行列式がゼロであれば、分子行列式がゼロでなければ連立方程式は解を持たない（矛盾する）ものとなり、分子行列式がゼロであれば不定となります。

例１：不確定システム

線形システムを考える

{\begin{matrix}2x-y&=8\\4x-2y&=16\end{matrix}}

目視で確認すると、2番目の式は1番目の式の倍数なので、解は無限に存在する。クラメルの公式を適用すると、

{\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}8&-1\\{16}&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}}}={0 \over 0},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}2&8\\4&{16}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}}}={0 \over 0}\end{aligned}}

分子と分母の両方がゼロであるため、このシステムは無限に多くの解を持ち、したがって不確定です。

例２：一貫性のないシステム

線形システムを考える

{\begin{matrix}3x-4y&=1\\3x-4y&=2\end{matrix}}

目視で確認すると、両方程式の左辺は同じで、右辺が異なっている。したがって、このシステムは矛盾しており、解は存在しない。クラメルの公式を適用すると、

{\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}1&-4\\{2}&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-4\\3&-4\end{vmatrix}}}={4 \over 0},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}3&1\\3&{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&-4\\3&-4\end{vmatrix}}}={3 \over 0}\end{aligned}}

これらは両方ともゼロ除算のため定義されていませんが、ゼロでない分子は、システムが解を持たないことを意味し、したがって矛盾しています。

3×3 以上のシステムの場合、係数行列式がゼロの場合に言えることは、分子行列式のいずれかがゼロでない場合、システムは矛盾しているに違いないということだけです。ただし、すべての行列式がゼロであっても、システムが不確定であるとは限りません。すべての行列式がゼロになる（ゼロになる）が、システムが依然として矛盾している簡単な例として、3×3 システムx + y + z =1、x + y + z =2、x + y + z =3 が挙げられます。

実務上の考慮事項

クレイマーの公式は、単純な方法で実装すると、2つまたは3つ以上の方程式からなるシステムでは計算効率が悪くなります。^{[ 10 ]} $n個の未知数を含む$ $n$ 個の方程式の場合、 $n +1個$ の行列式の計算が必要になりますが、ガウス消去法では同じ結果が得られます（定数係数を除いて）。 $n$ ⁠ )計算複雑度は単一の行列式の計算と同じです。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}さらに、ベライスアルゴリズムはガウス消去法の単純な修正であり、単一の計算で、非ゼロ要素がクラメルの公式に含まれる行列式である行列を生成します。1983年に、クラメルの公式を使用してシステムを解くアルゴリズムが開発されました。 $n^{3}+O(n^{2})$ 演算が提案されました^{[ 13 ]}。このアルゴリズムは、ガウス法とまったく同じように順列を使用できます。したがって、近似計算方法を使用する場合、最初のステップは数値を丸める前にエラーなしで計算されるため、ガウス法を使用した解よりも安定した解が得られます。1991 年に、複雑度のアルゴリズムが提案されました。 $n^{3}/2+O(n^{2})$ 演算が発表された。^{[ 14 ]}。1997年には、行列乗算と同等の計算量でクラメルの公式を用いて連立方程式を解くアルゴリズムが提案された。^{[ 15 ]}例えば、ストラッセンの乗算アルゴリズムの場合、このアルゴリズムは解をで計算する。 $(7/15)n^{\log _{2}(7)}+O(n^{2})$ 業務。

クラメルの公式は計算効率が悪いにもかかわらず、連立方程式を解く必要なく解の数学的性質を研究するための線形代数における重要な理論的ツールであり、^{[ 16 ]}また、複雑な小数を用いて手作業で低次元問題に取り組むエンジニアや数学者にとっても依然として有用である。^{[ 17 ]}例えば、次のような問題に直面した場合、

{\begin{matrix}2.87761x-3.16534y&=7.82234\\-5.91823x+2.81859y&=11.34308\end{matrix}}

電卓以外の道具がなくても、クラメルの公式を適用すれば、非常に効率的に解を求めることができる。

参考文献

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外部リンク

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[16] アントン、ハワード（2006）。初等線形代数：応用版。米国：ニュージャージー州：ジョン・ワイリー＆サンズ。p. 136。ISBN 978-04716695932026年6月27日取得。この公式はクラメルの公式として知られており、計算上の目的ではあまり重要ではありませんが、連立方程式を解く必要なく解の数学的性質を研究するのに役立ちます。

[17] ヒル、リチャード (1996).初等線形代数とその応用 - 第3版. 米国: プレンティスホール. p. 121. ISBN 0-03-010347-92026年6月27日取得。クラメルの公式は、複雑な数値を含む小次元問題に取り組む数学者、エンジニア、科学者にとって、依然として愛用されているツールである。

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クレイマーの公式[ 7 ]

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クラメルの公式[ 9 ]

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クレイマーの法則

一般的なケース

証拠

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