不確定システム

数学、特に代数学において、不確定系（ふくしゅうせいけい、英: indeterminate system）とは、複数の解（ときには無限に多くの解）を持つ連立方程式（たとえば、線型方程式）のシステムである。 ^{[1]線型システムの場合、システムは}不十分に指定されていると言える。その場合、複数の解の存在は無限の数の解を意味する（システムは少なくとも1つの自由変数で記述できるため^{[2] ）、しかしその特性は}非線型システム（たとえば、方程式を持つシステム） には拡張されない。${\displaystyle x^{2}=1}$

不確定系は、定義により、少なくとも1つの解を持つという意味で一貫しています。 ^[3]線形方程式系の場合、不確定系の方程式の数は、未知数の数と同じか、未知数の数より少ないか（劣決定系）、または未知数の数より多いか（過剰決定系）のいずれかになります。逆に、これら3つのケースはいずれも不確定である場合とそうでない場合があります。

次の不定方程式系の例では、それぞれ、未知数より方程式の数が少ない、方程式の数が同じ、方程式の数が未知数より多いです。

${\displaystyle {\text{システム1: }}x+y=2}$

${\displaystyle {\text{システム2: }}x+y=2,\,\,\,\,\,2x+2y=4}$

${\displaystyle {\text{システム 3: }}x+y=2,\,\,\,\,\,2x+2y=4,\,\,\,\,\,3x+3y=6}$

線形システムでは、独立方程式の数（システムの拡張行列の階数）が未知数の数より少なく、係数行列の階数と同じ場合にのみ、不確定性が発生します。 なぜなら、独立方程式の数が未知数の数と同じかそれ以上であれば、未知数の幾何学的空間で方程式の面が重なり合う部分がなくなるため（1 つの点を除く）、複数の解が存在する可能性が排除されます。 一方、拡張行列の階数が係数行列の階数を超える場合（超える場合は必ず 1 つ）、方程式は互いに矛盾することになり、解が存在する可能性が排除されます。

方程式系を行列形式で次のように 書きます。

${\displaystyle Ax=b}$

ここで、は係数行列、は未知数のベクトル、は定数のベクトルである。この場合、システムが不確定であれば、無限解集合は^[4]によって生成されるすべてのベクトルの集合である。${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle m\times 1}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=A^{+}b+[I_{n}-A^{+}A]w}$

ここで は のムーア・ペンローズ擬似逆行列であり、 は任意のベクトルです。 ${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle w}$${\displaystyle n\times 1}$

• 不定方程式
• 不確定形式
• 不確定（可変）
• 線形代数
• 連立方程式
• 独立方程式
• 識別可能性

• レイ、デイビッド（2003）。線形代数とその応用。アディソン・ウェズリー。ISBN 0-201-70970-8。