制御性

制御可能性は制御システムの重要な特性であり、フィードバックによる不安定システムの安定化や最適制御 など、多くの制御問題において重要な役割を果たします。

制御可能性と観測可能性は同じ問題の 二重の側面です。

大まかに言えば、制御可能性の概念は、特定の許容される操作のみを使用して、構成空間全体でシステムを移動できる能力を意味します。正確な定義は、適用されるフレームワークまたはモデルの種類によって若干異なります。

以下は、システムと制御の文献で紹介されている制御可能性の概念のバリエーションの例です。

• 状態制御可能性
• 出力制御性
• 行動フレームワークにおける制御可能性

決定論的システムの状態は、システムのすべての状態変数（動的方程式によって特徴付けられる変数）の値の集合であり、任意の時点でのシステムを完全に説明します。特に、現時点での状態がわかっていて、制御変数（値を選択できる変数）の現在の値と将来の値がすべてわかっている場合、システムの過去に関する情報は、将来を予測するのに必要ありません。

完全な状態制御可能性（または他の文脈が与えられていない場合は単に制御可能性）は、外部入力（制御変数のベクトル）がシステムの内部状態を有限の時間間隔で任意の初期状態から任意の最終状態に移動させる能力を表します。^{[1] ：737}

つまり、非公式には制御可能性を次のように定義できます。任意の初期状態と任意の最終状態に対して、有限の時間間隔でシステム状態を から に転送する入力シーケンスが存在する場合、状態空間表現によってモデル化されたシステムは制御可能です。連続 LTI システムの最も単純な例では、状態空間式の行次元によって間隔が決定され、各行はシステムの状態空間のベクトルを提供します。 の状態空間にまたがるのに十分なベクトルがない場合、システムは制御可能性を実現できません。制御可能性を実現するには、推定する基礎となる微分関係をより適切に近似するために 、 とを変更する必要がある場合があります。${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{f}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{f}} }$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

制御可能性は、到達した状態を維持できることを意味するのではなく、単に任意の状態に到達できることを意味します。

制御可能性は、状態空間を介して任意のパスを作成できることを意味するのではなく、規定された有限の時間間隔内にパスが存在することだけを意味します。

連続 線形システムを考える^[注1]

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

時刻の状態から時刻の状態への制御が存在するのは、が列空間内にある場合のみである。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$${\displaystyle x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt}$

ここで、は状態遷移行列、 は制御性グラミアンです。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$

実際、が の解である場合、 によって与えられる制御によって、目的の転送が行われます。 ${\displaystyle \eta_{0}}$${\displaystyle W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$${\displaystyle u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}}$

上記のように定義された行列には、次のプロパティがあることに注意してください。 ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$対称的である
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$は、​${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$線形行列微分方程式を満たす

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$方程式を満たす

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{T}}$^[2]

可制御性グラミアンには、システムの状態遷移行列の積分が含まれます。可制御性のより単純な条件は、時間不変システムのカルマンランク条件に類似した ランク条件です。

区間内で滑らかに変化する連続 時間線形システムを考えます 。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle [t_{0},t]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

状態遷移行列も滑らかです。nxm行列値関数を導入し、定義します。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)}$

${\displaystyle M_{k}(t)}$= .${\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1}$

のすべての列をリストすることによって得られる行列値関数の行列を考えます 。${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle i=0,1,\ldots ,k}$

${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right]}$。

と非負整数kが存在し、となる場合、は 制御可能である。^[3]${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$${\displaystyle \operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n}$${\displaystyle \Sigma }$

が区間 内で解析的に変化する場合は 、 のあらゆる非自明な部分区間上で が制御可能であることと、となる a と非負整数 k が 存在することが条件となる。^[3]${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle [t_{0},t]}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle [t_{0},t]}$${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$${\displaystyle \operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n}$

上記の方法は、状態遷移行列の計算を伴うため、依然として複雑である可能性があります。別の同等の条件は次のように定義されます。、および各 について、次のように定義します。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle B_{0}(t)=B(t)}$${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle B_{i+1}(t)}$=${\displaystyle A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$

この場合、それぞれはデータから直接取得され、非負の整数が存在し、となる 場合、システムは制御可能です。^[3]${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle (A(t),B(t)).}$${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n}$

および行列が 解析的に変化するシステムを考える${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}}$ すると 、この行列の階数は 3 なので、システムは のあらゆる非自明な区間で制御可能になります 。 ${\displaystyle B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$${\displaystyle [B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

連続線形時間不変システムを考える

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {x} }$は「状態ベクトル」であり、${\displaystyle n\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {y} }$「出力ベクトル」であり、${\displaystyle m\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {u} }$「入力（または制御）ベクトル」である。${\displaystyle r\times 1}$

${\displaystyle A}$「状態行列」である。${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle B}$「入力行列」であり、${\displaystyle n\times r}$

${\displaystyle C}$「出力行列」であり、${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle D}$「フィードスルー（またはフィードフォワード）行列」です。${\displaystyle m\times r}$

制御可能性行列は次のように与えられる。 ${\displaystyle n\times nr}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

制御可能性行列が完全な行ランク（つまり）を持つ場合、システムは制御可能です。 ${\displaystyle \operatorname {rank} (R)=n}$

離散時間線形状態空間システム（すなわち時間変数）の状態方程式は ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$

ここで、は行列であり、は行列（つまり、ベクトルに集められた入力）である。制御可能性のテストは、行列 ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\times r}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\times 1}$${\displaystyle n\times nr}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

は完全な行ランク（つまり、）を持ちます。つまり、システムが制御可能であれば、は線形独立な列を持ちます。の列が線形独立であれば、変数 を通じてシステムに適切な入力を与えることで各状態に到達できます。 ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle u(k)}$

初期時点の状態（任意にk =0と表記）が与えられた場合、状態方程式は 次のように表され、状態変数を繰り返して代入すると、最終的に次の式が得られる。 ${\displaystyle {\textbf {x}}(0)}$${\displaystyle {\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),}$${\displaystyle {\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),}$

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}$

または同等

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.}$

左側に状態ベクトルの任意の値を課すと、右側の先頭の行列の行列が完全な行ランクを持つ場合にのみ、制御ベクトルの積み重ねられたベクトルに対してこれを常に解くことができます。 ${\displaystyle {\textbf {x}}(n)}$

たとえば、および（つまり、制御入力が 1 つだけ）の場合を考えます。したがって、および はベクトルです。の階数が 2（フル ランク）の場合、 およびは線形独立であり、平面全体を覆います。 階数が 1 の場合、 およびは共線的であり、平面全体を覆いません。 ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle 2\times 1}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$

初期状態がゼロであると仮定します。

時刻:${\displaystyle k=0}$${\displaystyle x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)}$

時刻:${\displaystyle k=1}$${\displaystyle x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)}$

時刻 では、到達可能な状態はすべて、ベクトル によって形成される線上にあります。時刻 では、到達可能な状態はすべて、およびの線形結合です。システムが制御可能であれば、これら 2 つのベクトルは平面全体に広がり、時刻 に対しても同様に広がります。初期状態が 0 であると仮定するのは、単に便宜上のものです。明らかに、原点からすべての状態に到達できる場合は、別の状態 (座標の単なるシフト) から任意の状態に到達できます。 ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k=2}$

この例はすべての正の に当てはまりますが、 の場合の方が視覚化しやすいです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$

前の例のシステムとの類似性を考えてみましょう。あなたは無限の平らな平面上で車に座っており、北を向いています。目標は、直線で一定の距離を運転し、完全に停止し、方向転換し、再び直線で別の距離を運転して、平面上の任意の地点に到達することです。車にステアリングがない場合は、まっすぐ運転することしかできません。つまり、直線上 (この場合は、北を向いているため、南北の線上) しか運転で​​きません。ステアリングがない場合、のランクが1 の場合 (運転した 2 つの距離が同じ線上) に類似します。 ${\displaystyle C}$

さて、もし車にステアリングが付いていたら、平面上のどの地点にも簡単に運転できます。これは、 のランクが2 の場合と類似したケースになります。 ${\displaystyle C}$

この例を に変更すると、類似点は、3D 空間内の任意の位置に到達するために宇宙を飛行することになります (航空機の方向は無視します)。次の操作が可能です。 ${\displaystyle n=3}$

• 直線で飛ぶ
• 任意の量だけ左または右に回転する (ヨー)
• 飛行機を任意の量だけ上または下に向ける (ピッチ)

3 次元の場合は視覚化が難しくなりますが、制御可能性の概念は依然として類似しています。

制御アフィン形式の非線形システム

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}}$

アクセス可能性分布が空間に広がる場合、がの順位に等しく、Rは次のように与えられる：^[4]${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.}$

ここで、繰り返しリー括弧演算は次のように定義されます。 ${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]}$

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

前のセクションの線形システムの制御可能性行列は、実際にはこの方程式から導出できます。

離散制御システムがヌル制御可能である場合、ある初期状態 に対してとなる制御可能 が存在することを意味します。言い換えれば、が冪零であるような行列が存在するという条件に相当します。 ${\displaystyle u(k)}$${\displaystyle x(k_{0})=0}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A+BF}$

これは、制御可能-制御不可能分解によって簡単に示されます。

出力制御可能性は、システムの出力（前の式ではyで示される）に関連する概念です。出力制御可能性は、外部入力が有限の時間間隔で出力を任意の初期状態から任意の最終状態に移動させる能力を表します。状態制御可能性と出力制御可能性の間には、必ずしも関係があるわけではありません。特に、

• 制御可能なシステムは、必ずしも出力制御可能ではありません。たとえば、行列D  = 0 で行列C が完全な行ランクを持たない場合、出力の一部の位置は出力行列の制限構造によってマスクされ、したがって達成できなくなります。さらに、システムは有限時間内に任意の状態に移動できますが、すべての状態からアクセスできない出力が存在する可能性があります。単純な数値例では、D =0 と、少なくとも 1 行のゼロを持つC行列を使用します。したがって、システムはその次元に沿ってゼロ以外の出力を生成することはできません。
• 出力制御可能なシステムは、必ずしも状態制御可能ではありません。たとえば、状態空間の次元が出力の次元よりも大きい場合、個々の出力ごとに可能な状態構成のセットが存在します。つまり、システムは、出力からは観測できないシステムの軌跡である、重要なゼロダイナミクスを持つことができます。したがって、有限時間内に出力を特定の位置に移動できることは、システムの状態構成については何も意味しません。

上記の例のように、行列、、、およびで記述される線形連続時間システムの場合、出力制御行列${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle m\times (n+1)r}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$

システムが出力制御可能である場合のみ、完全な行ランク（すなわちランク ）を持つ。 ^{[1] : 742}${\displaystyle m}$

制御権限が制限されたシステムでは、制御可能なサブスペース内で初期状態を最終状態に移動できなくなることがよくあります。この現象は、システムに固有の入力制約（例：アクチュエータの飽和など）または他の理由（例：安全上の懸念など）でシステムに課せられた入力制約によって引き起こされます。入力と状態の制約を持つシステムの制御可能性は、到達可能性^[5] と実行可能性理論の文脈で研究されています。^[6]

ウィレムスによるいわゆる行動システム理論的アプローチ（システムと制御における人物を参照）では、検討対象のモデルは入出力構造を直接定義しません。このフレームワークでは、システムは変数の集合の許容される軌跡によって記述され、その一部は入力または出力として解釈される場合があります。

この設定では、あるシステムが制御可能であると定義されるのは、ある動作の過去の部分（外部変数の軌跡）が、その動作の将来の軌跡と連結され、その連結が動作に含まれる、つまり許容されるシステム動作の一部である場合である。^{[7] : 151}

制御可能性よりも少し弱い概念が、安定化可能性です。制御不可能なすべての状態変数が安定したダイナミクスを持つことができる場合、システムは安定化可能であると言われます。したがって、状態変数の一部が制御できないとしても（上記の制御可能性テストによって決定されるように）、すべての状態変数はシステムの動作中に制限されたままになります。^[8]

T ∈ Тかつ x ∈ Xとする（ここで X はすべての可能な状態の集合、Тは時間間隔）。時刻 T における x からの到達可能集合は次のように定義される: ^[3]

${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}}$、ここでxT→z は、時間 T に x から z への状態遷移が存在することを示します。

自律システムの場合、到達可能集合は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B)}$、

ここで、R は制御可能性行列です。

到達可能集合に関して、システムが制御可能であるのは の場合のみです。 ${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}}$

証明 次の等式が成り立ちます。

${\displaystyle R=[B\ AB....A^{n-1}B]}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} ([B\ AB....A^{n-1}B])}$

${\displaystyle \mathrm {dim(Im} (R))=\mathrm {rank} (R)}$

システムが制御可能であることを考慮すると、R の列は線形独立である必要があります。したがって、

${\displaystyle \mathrm {dim(Im} (R))=n}$

${\displaystyle \mathrm {rank} (R)=n}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}\quad \blacksquare }$

到達可能集合に関連する集合は制御可能集合であり、次のように定義されます。

${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}}$。

到達可能性と制御可能性の関係はソンタグによって提示されている: ^[3]

(a) n次元離散線形システムは、次の場合にのみ制御可能である。

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$ (ここで、X は x のすべての可能な値または状態の集合であり、k は時間ステップです)。

(b) 連続時間線形システムは、次の場合にのみ制御可能である。

${\displaystyle R(0)=R^{e}{(0)=X}}$すべてのe>0に対して。

すべての e>0 に対して その場合のみ。${\displaystyle C(0)=C^{e}{(0)=X}}$

例 システムを次の式から n 次元離散時間不変システムとします。

${\displaystyle \phi (n,0,0,w)=\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)}$ (ここで、(最終時刻、初期時刻、状態変数、制約) は、何らかの制約 w を伴う、初期時刻 0 から最終時刻 n までの状態変数 x の遷移行列として定義されます)。${\displaystyle \phi }$

したがって、将来の状態が 内にある場合、かつそれが 内にある場合のみ、将来の状態は 内になります。これは次のように定義される線型写像 の像です。 ${\displaystyle R^{k}{(0)}}$${\displaystyle \mathrm {Im} (R)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R(A,B)\triangleq [B\ AB....A^{n-1}B]}$、

どの地図でも、

${\displaystyle u^{n}\mapsto X}$

および のとき、列がその順序になっている行列と同一視します。システムが制御可能であれば、 の階数はです。これが真であれば、線形写像の像はのすべてです。これに基づいて、次の式が得られます。 ${\displaystyle u=K^{m}}$${\displaystyle X=K^{n}}$${\displaystyle R(A,B)}$${\displaystyle n\times nm}$${\displaystyle B,\ AB,....,A^{n-1}B}$${\displaystyle [B\ AB....A^{n-1}B]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$と。${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n}}$

• 可観測性
• ハウトゥス・レマ

• システムの制御可能性をチェックするための MATLAB 関数 2012-02-10 にWayback Machineでアーカイブされました
• システムの制御可能性をチェックするためのMathematica関数