擬似アーク

一般位相幾何学において、擬似弧は最も単純な非退化遺伝的 不可分連続体である。擬似弧は弧状の同次連続体であり、同次平面連続体の分類において中心的な役割を果たした。RHビングは、ある明確な意味で、n ≥ 2のほとんどの連続体が擬似弧と 同相であることを証明した。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

1920年、ブロニスワフ・クナスターとカジミエシュ・クラトフスキは、ユークリッド平面⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$内の非退化同次連続体は必ずジョルダン曲線であるかどうかを問いました。1921年、ステファン・マズルキエヴィチは、その非退化部分連続体のそれぞれに同相である⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$内の非退化連続体は必ず弧であるかどうかを問いました。1922年、クナスターは遺伝的に分解不可能な連続体K（後に擬似弧と名付けられる）の最初の例を発見し、マズルキエヴィチの疑問に否定的な答えを与えました。1948年、RHビングはクナスターの連続体が同次である、つまりその任意の2点に対して一方から他方への同相写像が存在することを証明しました。しかし、1948年にはエドウィン・モイーズも、ナスターの連続体がその非退化部分連続体のそれぞれと同相であることを示した。弧の基本的性質、すなわちその非退化部分連続体のすべてと同相であることに類似しているため、モイーズは彼の例M を擬似弧と呼んだ。^[a]ビングの構成は、講義で初めて聞いたモイーズによるMの構成の修正である。1951年、ビングは遺伝的に分解不可能な弧状連続体はすべて同相であることを証明した。これは、ナスターのK、モイーズのM、およびビングのBがすべて同相であることを意味する。ビングはまた、擬似弧が少なくとも次元が2のユークリッド空間または無限次元の可分なヒルベルト空間の連続体の間で典型的であることを証明した。^[b]ビングとF・バートン・ジョーンズは、各点が擬似弧に同相な逆像を持つ、円への開写像が可能な分解可能な平面連続体を構築した。これを擬似弧の円と呼ぶ。ビングとジョーンズは、これが同次であることも示した。2016年にローガン・ホーエンとレックス・オーバースティーゲンは、同相写像を除くすべての平面同次連続体を円、擬似弧、擬似弧の円に分類した。2019年にホーエンとオーバースティーゲンは、擬似弧が弧以外で唯一遺伝的に同値な平面連続体であることを示し、1921年のマズルキエヴィチの問題の平面ケースに対する完全な解を提供した。

以下の擬似弧の構築は Lewis (1999) に従います。

擬似弧の定義の中心となるのは、次のように定義されるチェーンの概念です。

鎖は、距離空間における開集合の有限集合であり、が成り立つ場合のみ となります。鎖の要素は鎖のリンクと呼ばれ 、各リンクの直径がε未満の鎖はε鎖と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n}\}}$${\displaystyle C_{i}\cap C_{j}\neq \emptyset }$${\displaystyle |ij|\leq 1.}$

擬似弧は、上に挙げた空間の種類の中で最も単純ですが、実際には非常に複雑です。チェーンが曲がっているという概念(以下で定義) が、擬似弧に複雑さを与えています。非公式には、チェーンが別のチェーン内の特定の再帰的なジグザグ パターンに従うことが必要です。大きいチェーンのm番目のリンクからn番目のリンクに「移動」するには、小さいチェーンが最初にm番目のリンクから( n − 1)番目のリンクに曲がって移動し、次に( m + 1)番目のリンクに曲がって移動し、最後にn番目のリンクに移動する必要があります。

より正式には:

とを鎖として、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

1. の各リンクはのリンクのサブセットであり、${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
2. 、、およびとなる任意のインデックスi、j、m、nに対して、（または）および となるインデックスおよびが存在し、${\displaystyle D_{i}\cap C_{m}\neq \emptyset }$${\displaystyle D_{j}\cap C_{n}\neq \emptyset }$${\displaystyle m<n-2}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle i<k<\ell <j}$${\displaystyle i>k>\ell >j}$${\displaystyle D_{k}\subseteq C_{n-1}}$${\displaystyle D_{\ell}\subseteq C_{m+1}.}$

それから曲がって${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

任意の集合Cについて、C* はCのすべての要素の和集合を表すものとする。つまり、

${\displaystyle C^{*}=\bigcup _{S\in C}S.}$

擬似円弧は次のように定義されます。

p、q を平面上の異なる点とし、各iに対して、${\displaystyle \left\{{\mathcal {C}}^{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$

1. 最初のリンクにはp が含まれ、最後のリンクにはq が含まれます。${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$
2. チェーンは-チェーンであり、${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$${\displaystyle 1/2^{i}}$
3. の各リンクの閉包はの何らかのリンクの部分集合であり、${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$
4. チェーンが曲がっています。${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$

させて

${\displaystyle P=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left({\mathcal {C}}^{i}\right)^{*}.}$

するとPは擬似弧になります。