原始的

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数学、特に数論において、素数（ p _n #と表記）は、階乗関数に似た自然数から自然数への関数ですが、正の整数を連続的に乗算するのではなく、素数のみを乗算します。

ハーヴェイ・ダブナーによって造られた「素数」という名前は、 「階乗」という名前が因数に関連しているのと同様に、素数との類似性を示しています。

n番目の素数p _nに対して、素数p _n # は最初のn個の素数の積として定義される: ^{[1] [2]}

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$、

ここで、p _{k は}k番目の素数です。たとえば、p ₅ # は最初の 5 つの素数の積を表します。

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

最初の 5 つの原始数p _n #は次のとおりです。

2、6、30、210、2310（OEISの配列A002110 ）。​​​​​​

この数列には、空積としてp ₀ # = 1 も含まれています。漸近的に、原始数p _n #は次のように増加します。

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},}$

ここでo ()はリトルO表記である。^[2]

一般に、正の整数nに対して、その素数n#はn以下の素数の積である。つまり、^{[1] [3]}

${\displaystyle n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$、

ここでπ ( n )は素数計算関数（OEISのシーケンスA000720 ）であり、 n以下の素数の個数を与える。これは次と同等である。

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is combinations}}.\end{cases}}}$

たとえば、12# は 12 以下の素数の積を表します。

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

π (12) = 5なので、次のように計算できます。

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

n #の最初の12個の値を考えてみましょう。

1、2、6、6、30、30、210、210、210、210、2310、2310。

定義にあるように、合成数nについて、各項n # は単に前の項( n − 1)# を複製するだけであることがわかります。上記の例では、12 は合成数なので、 12# = p ₅ # = 11#となります。

原始関数は、ϑ ( n )またはθ ( n )と表記される最初のチェビシェフ関数と次のように関係している。

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$^[4]

ϑ ( n ) はnの値が大きい場合に漸近的にnに近づくため、原始数は次のように増加します。

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

既知の素数すべてを掛け合わせるという考え方は、素数の無限性を証明するいくつかの場面で登場し、別の素数の存在を導き出すために使われます。

• pとq を隣接する素数とします。任意の が与えられ、ここで:${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p\leq n<q}$

${\displaystyle n\#=p\#}$

• 原始的については、次のような近似値が知られている: ^[5]

${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$。

注:

1. 数学者デニス・ハンソンは初等的な方法を用いて次のことを示しました^[6]${\displaystyle n\#\leq 3^{n}}$
2. より高度な方法を用いて、ロッサーとショーンフェルドは^[7]${\displaystyle n\#\leq (2.763)^{n}}$
3. ロッサーとショーンフェルドは定理4の式3.14で、に対して、^[7]${\displaystyle n\geq 563}$${\displaystyle n\#\geq (2.22)^{n}}$

• さらに：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$

の場合、値はeより小さくなりますが^{[8] 、} nが大きくなると、関数の値は限界eを超え、その後eの周りで無限に振動します。${\displaystyle n<10^{11}}$

• をk番目の素数とすると、 はちょうど約数を持ちます。たとえば、には 2 つの約数があり、には 4 つの約数があり、には 8 つの約数があり、97 は 25 番目の素数であるため、すでに約数があります。${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle p_{k}\#}$${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle 2\#}$${\displaystyle 3\#}$${\displaystyle 5\#}$${\displaystyle 97\#}$${\displaystyle 2^{25}}$
• 原始数の逆数値の合計は定数に収束する

${\displaystyle \sum _{p\,\in \,\mathbb {P} }{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$

この数をエンゲル展開すると素数の列が得られる（OEISの列A064648を参照）。

• ユークリッドの定理によれば、は素数が無限であることを証明するために使われます。${\displaystyle p\#+1}$

原始数は加法等差数列における素数の探索において役割を果たします。例えば、 2 236 133 941  + 23#は素数となり、23#を繰り返し足すことで見つかる13個の素数の列の始まりとなり、5 136 341 251 . 23# は、15 個と 16 個の素数の等差数列の共通差でもあります。

すべての高度合成数は原始数の積である（例：360 = 2 × 6 × 30）。^[9]

原始数はすべて平方根のない整数であり、それぞれの原始数にはそれより小さい数より多くの異なる素因数があります。各原始数nについて、分数⁠φ ( )の/ん⁠ は任意の小さい整数に対してより小さくなります。ここで、 φはオイラーのトーシェント関数です。

任意の完全な乗法関数は、その素数での値によって定義されます。これは、隣接する値の除算によって復元できる素数での値によって定義されるためです。

原始数に対応する基数システム (基数 30 など。原始数システムと混同しないでください)では、より小さい基数よりも 循環分数の割合が低くなります。

すべての原始数は疎トーティエント数である。^[10]

合成数nのn合成数は、nまでの合成数の積である。[11] n合成数は、n階乗を原始^数n #で割ったものに等しい。合成数は、

1 , 4 , 24 , 192 , 1728 ,17 280 ,207 360、2 903 040、43 545 600 ,696 729 600、… ^[12]

1より大きい正の整数におけるリーマンゼータ関数は、原始関数とジョルダンのトーティエント関数Jk ( n )_を^{用いて次のように表される[13]}。

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

• ボンセの不等式
• チェビシェフ関数
• 原始数体系
• 原始プライム

• Dubner, Harvey (1987). 「階乗素数と原始素数」J. Recr. Math. 19 : 197–203.
• スペンサー、アダム「トップ 100」第 59 部、パート 4。