サムフリーセット

加法的な組合せ論と数論では、アーベル群Gの部分集合 Aは、和集合A + AがAと交わらないとき、和が自由であるという。言い換えれば、方程式が で解を持たないとき、 A は和が自由である。 ${\displaystyle a+b=c}$${\displaystyle a,b,c\in A}$

たとえば、奇数の集合は整数の和のない部分集合であり、集合 { N  + 1, ..., 2 N  } は集合 {1, ..., 2 N  } の大きな和のない部分集合を形成します。フェルマーの最終定理は、与えられた整数n > 2 に対して、その整数の 0 でないn^乗 すべての集合は和のない集合であるという 主張です。

和のない集合に関して尋ねられたいくつかの基本的な質問は次のとおりです。

•  整数Nに対して、{1, ..., N }の和がゼロの集合はいくつあるでしょうか？ベン・グリーンは^[1] 、その答えはキャメロン・エルデシュ予想^[2]によって予測された通りであることを示しました。${\displaystyle O(2^{N/2})}$
• アーベル群Gには和自由集合がいくつ含まれるか？^[3]
• アーベル群Gに含まれる最大の和自由集合の大きさはどれくらいでしょうか？^[3]

和のない集合は、別の和のない集合の 適切な部分集合ではない場合、最大であると言われます。

が によって定義され、サイズn の の任意の部分集合がサイズkの和のない部分集合を持つ最大の数であるとします。関数は劣加法性であり、フェケテ劣加法性補題により、が存在する。エルデシュはを証明し、等式が成り立つと推測した。 ^[4]これはエバーハルト、グリーン、マナーズによって証明された。^[5]${\displaystyle f:[1,\infty )\to [1,\infty )}$${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle [1,\infty )}$${\displaystyle \lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}}$ ${\displaystyle \lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}\geq {\frac {1}{3}}}$

• エルデシュ・セメレディ定理
• 和のないシーケンス