ハッセ・ウィット行列

数学において、有限体F上の非特異代数曲線Cのハッセ・ウィット行列 Hは、第一種微分に対する基底に関するフロベニウス写像 （F がq個の元を持ち、q が素数pのべき乗であるp乗写像）の行列である。これは、 Cが種数gであるg × g行列である。ハッセ・ウィット行列の階数はハッセ不変量またはハッセ・ウィット不変量である。

序論で述べたように、この定義は古典的な意味で自然であり、ヘルムート・ハッセとエルンスト・ウィット(1936) によるものである。これは、 Cのヤコビ多様体Jのpランクの問題に対する解答を提供する。pランクはHのランクによって制限され、具体的には、フロベニウス写像をg回自身と合成したランクである。これは、原理的にアルゴリズム的な定義でもある。最近、この定義は、超楕円曲線Cの場合には暗号への実用的応用として大きな関心を集めている。曲線C は、 H = 0 の場合に超特殊である。

この定義には、少なくともいくつかの注意が必要です。まず、フロベニウス写像に関する慣例があり、現代の理解では、Hに必要なのはフロベニウスの転置です(詳細については、算術および幾何学フロベニウスを参照してください)。次に、フロベニウス写像はF線型ではなく、 Fの素体 Z / p Zに対して線型です。したがって、行列は書き下ろすことができますが、直接的な意味での線型写像を表すものではありません。

層コホモロジーの解釈は次のようになる。p冪写像は

H ¹ ( C , O _C )、

あるいは、構造層に係数を持つCの最初のコホモロジーである。これは現在、ピエール・カルティエとユーリ・マナンにちなんでカルティエ・マナン作用素（単にカルティエ作用素と呼ばれることもある）と呼ばれている。ハッセ・ウィット定義との関連はセール双対性によっており、曲線の場合、その群は次の式で表される。

H ⁰ ( C , Ω _C )

ここで Ω _C = Ω ¹ _{C は}C上のケーラー微分層です。

標数 pの体K上のアーベル多様体Aのp階数は、 pによる乗算の核A [ p ] がp ^k点を持つような整数kです。これは 0 からAの次元dまでの任意の値を取ります。対照的に、他の任意の素数lに対しては、 A [ l ] にはl ^{2 d}点があります。 p階数が低い理由は、 A上のpによる乗算が分離不可能な同種写像であるためです。つまり、微分はpであり、 Kでは 0 です。核をグループ スキームとして見ると、より完全な構造が得られます ( David Mumford Abelian Varieties pp. 146–7 を参照)。ただし、たとえば除算方程式の p を法とする簡約を見ると、解の数は減少するはずです。

したがって、カルティエ・マナン演算子、またはハッセ・ウィット行列の階数は、 p階数の上限を与えます。 p階数は、フロベニウス演算子をg回自身と合成した階数です。ハッセとウィットの原著論文では、問題はJに依存せず、Cに固有の用語で表現されています。関数体F ( C )の可能なアルティン・シュライアー拡大(この場合はクンマー理論の類似物)を分類する問題があります。

楕円曲線の場合は、1934 年にハッセによって解決されました。種数が 1 なので、行列Hの可能性は、 Hが 0、ハッセ不変量 0、p階数 0、超特異ケース、またはH が0 以外、ハッセ不変量 1、p階数 1、通常のケースの 2 つだけです。^[1] ここで、少なくともq = pのときは、 H はpを法としてF上のC上の点の数 N と合同であるという合同式があります。楕円曲線に関するハッセの定理により、p を法とするNがわかれば、 p ≥ 5 の場合のNがわかります。この局所ゼータ関数との関連は、詳細に調査されてきました。

3次関数f ( X , Y , Z ) = 0で定義される平面曲線の場合、ハッセ不変量はf ^{p −1}における( XYZ ) ^{p −1}の係数が0のときのみ0になる。^[1]

• ハッセ、ヘルムート (1934)。 "Existenz separabler zyklischer unverzweigter Erweiterungskörper vom Primzahlgrad p über elliptischen Funktionenkörpern der Charakteristik p "。数学に関するジャーナル。172：77-85。土井：10.1515/crll.1935.172.77。JFM  60.0910.02。Zbl  0010.14803。
• ハッセ、ヘルムート。ウィット、エルンスト (1936)。 "Zyklische unverzweigte Erweiterungskörper vom Primzahlgrad p über einem algebraischen Funktionenkörper der Charakteristik p "。数学と物理学のモナトシェフ。43 : 477–492。土井：10.1515/9783110835007.202。JFM  62.0112.01。Zbl  0013.34102。
• Manin, Ju. I. (1965). 「代数曲線のハッセ・ウィット行列」. Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc . 45 : 245–246. ISSN  0065-9290. Zbl  0148.28002.（ロシア語原文の英語訳）