毛細管橋

毛細管橋は、任意の形状の 2 つの剛体の間に形成される液体または膜の最小表面です。毛細管橋は 2 つの液体の間にも形成されることがあります。[ ^{1 ]} プラトーは、 (1)首のあるノドイド、(2)カテノイド、(3)首のある波状体、(4)円柱、(5)臀部のある波状体、(6)球、(7)臀部のあるノドイドと呼ばれる一連の毛細管形状を定義しました [2] 。毛細管橋の存在は、その形状に応じて、固体間の引力または反発力につながる可能性があります。最も単純なケースは軸対称のものです。接続された物体の表面形状に応じて、3 つの重要なブリッジング クラスを区別しました。

• 2つの平面（図1）

• 平面と球状粒子（図2）

• 2 つの球状粒子 (一般に、粒子の大きさは同じではない場合があります、図 3)

毛細管橋とその特性は、地球の重力や橋渡しされた表面の特性によっても影響を受ける可能性があります。橋渡し物質は液体または気体です。囲む境界は界面 (毛細管表面) と呼ばれます。界面は特定の表面張力によって特徴付けられます。

毛細管ブリッジは200年以上研究されてきました。この問題は1760年にジョセフ・ルイ・ラグランジュによって初めて提起され、フランスの天文学者で数学者のC. ドロネーによってさらに関心が広まりました。^{[3]ドロネーは、}一定平均曲率を持つ軸対称面のまったく新しいクラスを発見しました。彼の定理の定式化と証明には長い経緯がありました。それは、オイラー^[4]によるカテノイドと呼ばれる新しい図形の提案 から始まりました。（ずっと後になって、監物^[5]は、このクラスの面を記述する複雑な非線形方程式を解きました。しかし、彼の解は幾何学的な解釈がないため、実用上はあまり重要ではありません。） J. プラトーは、境界が与えられた場合にそのような形状が存在することを示しました。この問題は、彼にちなんでプラトーの問題と名付けられました。^[6]
多くの科学者が問題の解決に貢献しました。そのうちの1人はトーマス・ヤングです。^[7]ピエール・シモン・ラプラスは毛細管張力の概念を提唱しました。ラプラスは、今日では広く知られている、毛細管表面で割った 2 つの流体間の機械的平衡の条件P _γ =Δ Pを定式化しました。つまり、2 つの相間の毛細管圧は、隣接する圧力差によってバランスが取れています。
重力場における毛細管ブリッジの挙動に関する一般的な調査は、Myshkis と Babskii によって完了しています。^[8]
前世紀には、ブリッジングの毛細管効果を促進する表面力の研究に多くの努力が払われました。これらの力は分子間力から生じ、2 つの表面間の薄い流体ギャップ (<10 nm) で重要になることが確立されました。^{[9] [10]毛細管ブリッジの不安定性は、} レイリー
によって初めて議論されました。^{[11]彼は、液体ジェットまたは毛細管円筒表面は、その長さ}Hと半径Rの比が2π より大きくなると不安定になることを実証しました。周囲よりも大きな波長を持つ小さな正弦波の摂動の条件では、円筒の表面積は同じ体積の摂動を受けていない円筒の表面積よりも大きくなり、不安定になる。後に、ホーヴ^[12]は、軸対称毛細管表面（無限）の安定性に対する変分要件を、重力がなく、外乱が一定体積に制約された状態で定式化した。彼はまず平衡形状についてヤング・ラプラス方程式を解き、第 2 変分に対するルジャンドル条件が常に満たされることを示した。したがって、安定性は線形化されたヤング・ラプラス方程式の負の固有値が存在しないことによって決定される。第 2 変分から安定性を決定するこのアプローチは、現在広く使用されている。^[8]毛細管相互作用の非線形性がその適用を制限する可能性があるにもかかわらず、摂動法は非常に成功した。現在では他の方法に直接シミュレーションが含まれる。^{[13] [14]}その時点まで、安定性を決定するほとんどの方法では、摂動の基礎として平衡を計算する必要があった。平衡状態から安定性を推測できるという新しいアイデアが登場した。^{[15] [16]}この命題は、軸対称定積について Pitts ^[17]によってさらに証明された。その後数年で Vogel ^{[18] [19]}が理論を拡張した。彼は、一定容積の軸対称毛細管橋のケースを研究し、安定性の変化が転換点に対応することを明らかにした。分岐理論の最近の発展により、転換点と分岐点の間の安定性の交換は一般的な現象であることが証明された。^{[20] [21]}

最近の研究によると、古代エジプト人は砂の特性を利用して、砂の上に水をかけることで毛細管橋を作ったそうです。 ^[22]このようにして、彼らは表面の摩擦を減らし、彫像や重いピラミッドの石を動かすことができました。砂の芸術のようないくつかの現代芸術も、粒子を橋渡しする水の能力と密接に関係しています。原子間力顕微鏡では、湿度の高い環境で作業する場合、ナノサイズの毛細管橋の出現によって研究が影響を受ける可能性があります。^{[23]これらの橋は、作業チップが研究対象のサンプルに近づくと現れます。毛細管橋は}はんだ付けプロセスでも重要な役割を果たします。^[24]

• 
  ジェフティホテプの墓から発見された、巨大な像の運搬を描いた図
• 
  オーストラリア
• 
  はんだ付け
• 
  シロガエル

毛細管橋は、自然界にも広く分布しています。虫、ハエ、バッタ、アマガエルは、パッドと基質の接触面に湿潤液を注入できるため、垂直の粗い表面に付着することができます。このようにして、毛細管橋の形成により長距離の引力相互作用が生まれます。^[25]呼吸器疾患や体の関節の健康を含む多くの医学的問題は、小さな毛細管橋に依存しています。^[26]科学研究において生体組織の働きを模倣する必要があるため、液体橋は現在、細胞培養の成長に一般的に使用されています。^{[27] [28]}

毛細管のプロファイルの一般解は、波状面または結節面の曲率を考慮することで分かります。^[29]
次の円筒座標系を想定しましょう。z は回転軸を示します。rは放射座標を表し、φ は法線と正のz軸の間の角度です。結節面には、 r = r ₁とr = r _{2の垂直接線と、} r = r ₃の水平接線があります。φ が界面の法線と正の z 軸の間の角度である場合、φは 結節面の場合 90°、0°、-90° に等しくなります。

ヤング・ラプラス方程式は、軸対称性の積分に便利な形で表すことができます。

ここで、R ₁、R ₂は曲率半径、γ は界面張力です。
この式の積分は第1積分と呼ばれ、次の式が得られます。

以来：

次のようなことが分かります:

積分後に得られる方程式は第2積分と呼ばれます。

ここで、FとEは第1種と第2種の楕円積分であり、φはrと次の関係にある。${\textstyle k^{2}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}\phi ={\frac {r^{2}-r_{2}^{2}}{k^{2}r^{2}}}}$。

ウンデュロイドはr = r ₁とr = r _{2 （} φ = + 90）でのみ垂直接線を持ちます。 完全に類似した方法で：

アンデュロイドの2番目の積分は次のようになります。

_{ここで、パラメータ k と φ の関係は}、上記と同じように定義されます。r 1 =0 の極限ケースでは、ノドイドとアンデュロイドは両方とも一連の球で構成されます。r 1 = r 2 のとき_。最後の_非常に興味深い極限ケースはカテノイドです。ラプラス方程式は次のように簡約されます。

この積分は円筒座標系で非常に便利な形で表すことができ、カテナリー方程式と呼ばれる：^[29]

式（9）は、ある程度の単純化によって、毛細管ブリッジに関連するすべての問題を透明に示しているため重要です。無次元座標で描画すると、2つの分岐を区別する最大値が表示されます。そのうちの1つはエネルギー的に有利であり、静力学で存在しますが、もう1つ（破線）はエネルギー的に有利ではありません。最大値が重要なのは、準平衡方法で毛細管ブリッジを伸張する場合、最大値に達すると破損が発生するためです。エネルギー的に不利な寸法のカテノイドは、動的な伸張/圧縮の過程で形成される可能性があります。[ ^30]古典的なカテノイド（2つの同軸リングの間に張られた毛細管石鹸表面）では、毛細管圧C =0がゼロであることが自然です。典型的な毛細管ブリッジがC = 0のカテノイド状態になると、その表面特性は古典的なカテノイドと同じであるにもかかわらず、半径Rではなく、その体積の3乗根でスケーリングして表す方が適切です。

扁平な毛細管橋（結節状および波状）の場合、 2 番目の積分の解は異なります。

ここで、F と E は、第 1 種および第 2 種の楕円積分であり、φ は r と次の式で関連しています。ここで説明するすべての曲線は、円錐曲線をz軸に沿って滑りなく転がすことによって得られることに留意してください。ウンデュロイドは、転がる楕円の焦点によって記述されます。この楕円は、直線、球、または放物線に退化することができ、対応する極限ケースにつながります。同様に、ノドイドは、転がる双曲線の焦点によって記述されます。${\textstyle k^{2}={\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}}}$${\textstyle \sin ^{2}\phi ={\frac {r_{2}^{2}-r^{2}}{k^{2}r_{2}^{2}}}}$

毛細管橋の形状の体系的な概要は、KralchevskyとNagayamaの著書の表11.1に示されている。^[2]

機械的平衡は、液体/気体界面の圧力バランスと、プレートにかかる外力 Δ Pで構成され、毛細管引力または反発力 とバランスをとります。つまり、重力の影響やその他の外部フィールドを無視すると、圧力バランスは Δ P = P _i - P _eです(添え字「i」と「e」はそれぞれ内部圧力と外部圧力を表します)。軸対称の場合、毛細管圧力の式は次のようになります。${\displaystyle P_{\gamma }}$${\displaystyle \Delta P=P_{\gamma }}$

ここで、γは液体/気体の界面張力、rは半径座標、φ は軸対称と界面母線に対する法線の間の角度です。
表面との接触における無次元毛細管圧力に関する最初の積分は簡単に得られます。

ここで、接触部の無次元半径は、θは接触角である。この関係は、毛細管圧力が正または負になる可能性があることを示す。毛細管ブリッジの形状は、次の式によって決まる：^[2]${\textstyle C=P_{\gamma }{\frac {r_{m}}{2\gamma }}}$${\textstyle X={\frac {R}{r_{m}}}}$

ここで、式( 11 )に代入を行い、スケーリングを導入するとこの式が得られる 。 ${\textstyle \sin \phi ={\frac {dy}{dx}}\cos \phi }$${\textstyle x={\frac {r}{r_{m}}}}$

キャピラリーブリッジの高さが増すとプロファイル形状が多様化するのに対し、厚さがゼロに向かって平坦化（薄くなる）するケースはより普遍的な特徴を持っています。普遍性はH << Rのときに現れます（図1）。式（11）は次のように表すことができます。^[31]

生成線は次の式に収束します。

積分すると、次の式が得られます。

無次元円半径 1/2C は、毛細管ブリッジの曲率半径と一致します。正の符号「+」は凹型ブリッジの母線プロファイルを表し、負の符号「-」は扁平型を表します。凸型毛細管ブリッジの場合、円形の母線は、伸張中に定義領域の境界に達するまで保持されます。自己開始破壊運動の初期に近づくと、ブリッジのプロファイルは、結果として楕円、放物線、場合によっては双曲線に進化します。^[32]

図 5 に示されている観察は、毛細管ブリッジの存在領域を定義できることを示している。したがって、液体ブリッジが伸びると、不安定性が高まるだけでなく、形状が存在できなくなるポイントに到達するため、その存在が停止する可能性がある。定義領域の推定には、毛細管ブリッジの高さとその体積の積分方程式の操作が必要である。これらは両方とも積分可能であるが、積分は不適切である。適用される方法には、積分を 2 つの部分に分割することが含まれる。1 つは特異であるが解析的に積分可能な部分、もう 1 つは正規であるが数値的にのみ積分可能な部分である。
積分後、毛細管ブリッジの高さは次の式で得られる^[31]。

接触半径Rについても同様の方法で積分方程式が得られる^[31]

どこでそして${\displaystyle \beta \left(C\right)=\left[1-{\frac {\left(1-2C\right)}{2C^{2}}}\right]}$${\displaystyle \alpha \left(C,X\right)={\frac {1}{2C}}\arcsin \left[\beta \left(C\right)-X^{2}{\frac {2C^{2}}{1-2C}}\right]}$

図 6 には、液体毛細管ブリッジの安定した静的状態の数が表示されており、2 つの特性パラメータ (i) 毛細管ブリッジの高さをその体積の 3 乗根でスケーリングして得られる無次元の高さ (式 ( 16 ))、および (ii) 同じく体積の 3 乗根でスケーリングされた半径 (式 ( 17 )) によって表されます。これら 2 つのパラメータに対して得られた部分解析解は、上記に示されています。これらの解は、広く受け入れられている Plateau のアプローチ (楕円関数による、式 ( 7 )) とは多少異なります。これは、方程式の不規則な部分が解析的に積分されている一方で、これらの解は正規積分の積分に便利な数値アプローチを提供するためです。これらの解は、さらに、接触角が 45° 未満の場合に毛細管ブリッジの準平衡伸張と破損を予測するための基礎となりました。実際の実装では、定義領域の終わりだけでなく、毛細管ブリッジの伸張中の正確な動作も識別できます^[32]。これは、座標では伸張が傾斜線を形成し、傾斜角が接触角に比例するためです。 ${\textstyle \left(0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{4}}\right)}$${\textstyle {\frac {H}{r_{m}}}\sim \ln \left({\frac {R}{r_{m}}}\right)}$

凹型毛細管ブリッジのケースは、図 6 の接触角の等角線で示されています。 等角線は明確に定義された最大値を示しています。この最大値は、各等角線の点で示されています。これも、単純なカテノイドと同様に、2 つの枝に分かれています。左の枝はエネルギー的に有利ですが、右の枝はエネルギー的に不利です。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle \left(0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}\right)}$${\textstyle {\frac {dH^{*}}{dR^{*}}}\equiv {\frac {dH}{dR}}=0}$

このケースはレイリーによってうまく解析されています。彼のケースの定義領域には制限がなく、無限大にまで達することに注目してください（図6）。しかし、円筒形の毛細管ブリッジの破損はよく観察されます。これは、現在レイリー不安定性として知られている、よく研究されている不安定性の結果として発生します。^[11] 90°等角線の定義領域は、図6に破線で示されています。 ${\textstyle \left(\theta ={\frac {\pi }{2}}\right)}$

凸型毛細管ブリッジのケースは、円筒形ケースの領域から左に図 6 に示されています。 ${\textstyle \left({\frac {\pi }{2}}<\theta \leq \pi \right)}$

毛細管液体ブリッジの平衡形状と安定限界については、多くの理論的および実験的研究がなされている。^{[33]研究のほとんどは、重力条件下での等しい円板間のブリッジの調査に集中している。}ボンド数の各値に対して、次のように定義されることはよく知られている。^[34] (ここで、gは地球の重力加速度、γは表面張力、Rは接触半径) 安定性図は、細長/無次元体積平面上の単一の閉じた区分曲線で表すことができる。細長は と定義され、 無次元体積は、毛細管ブリッジの体積を、同じ高さHと半径Rを持つ円筒体積で割ったものである。${\textstyle {\rm {Bo}}={\frac {\rho gR^{2}}{\gamma }}}$${\textstyle {\frac {H}{2R}}}$${\textstyle {\frac {V}{\pi R^{2}H}}}$

細長さと液体の体積がどちらも十分に小さい場合、安定限界は、ディスクの端 (三相接触線) からの液体形状の分離によって決まります (図 7 の AB 線)。線 BC は、軸対称の破損に対応する体積の最小値を表します。これは、文献では最小体積安定限界として知られています。曲線 CA は、最大体積を特徴付ける別の安定性の限界を表します。これは、安定領域の上限です。最小体積安定性と最大体積安定性の間には、遷移領域も存在します。これはまだ明確に定義されていないため、図 7 では破線で示されています。^{[どこですか? ]}

• エトヴェシュ数
• 毛細管凝縮