単項式基底

数学において、多項式環の単項式基底は、すべての単項式からなる基底(係数体または環上のベクトル空間または自由モジュールとして)です。単項式が基底を形成するのは、すべての多項式が単項式の有限線形結合として一意に表すことができるためです(これは多項式の定義から直接導かれる結果です)。

体K上の一変数多項式の多項式環 K [ x ]は、 (無限)基底を持つ Kベクトル空間です。より一般的には、 Kが環である場合、K [ x ]は同じ基底を持つ自由加群です。 $${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$$

最大d次までの多項式もベクトル空間 (係数の環の場合は自由モジュール) を形成し、その基底として を持ちます。 $${\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1},x^{d}\}}$$

多項式の 標準形は、この基底に基づいた表現です。 または、より短いシグマ表記法を使用すると、次のようになります。 $${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{d}x^{d},}$$$${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}.}$$

単項式基底は、次数が増加する か減少するかのいずれ かによって自然に完全に順序付けられる。$${\displaystyle 1<x<x^{2}$$$${\displaystyle 1>x>x^{2}>\cdots .}$$

不定値が複数ある場合、単項式は、 が非負の整数 である積です 。指数がゼロに等しいということは、対応する不定値が単項式に現れないことを意味します。特に、は単項式です。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$$${\displaystyle x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}},}$$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{0}=1,}$${\displaystyle 1=x_{1}^{0}x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}}$

一変数多項式の場合と同様に、 の多項式はベクトル空間（係数が体に属する場合）または自由加群（係数が環に属する場合）を形成し、その基底としてすべての単項式の集合を持ち、これを単項式基底と呼びます。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

次数の斉次多項式は、次数の単項式を基底とする部分空間を形成します。この部分空間の次元は次数の単項式の個数で、これは で、 は二項係数です。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d=d_{1}+\cdots +d_{n}}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle {\binom {d+n-1}{d}}={\frac {n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!}},}$$${\textstyle {\binom {d+n-1}{d}}}$

最大次数の多項式も部分空間を形成し、その部分空間は最大次数の単項式を基底とする。これらの単項式の数は、この部分空間の次元であり、次の式に等しい。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle {\binom {d+n}{d}}={\binom {d+n}{n}}={\frac {(d+1)\cdots (d+n)}{n!}}.}$$

一変量の場合とは対照的に、多変量の場合、単項式基底の自然な全順序は存在しない。グレブナー基底計算などの全順序を選択する必要がある問題では、一般的に許容 単項式順序、つまり、単項式集合上の全順序で 、かつすべての単項式に対して$${\displaystyle m<n\iff mq<nq}$$$${\displaystyle 1\leq m}$$${\displaystyle m,n,q.}$

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