ラウエ方程式

結晶学と固体物理学において、ラウエ方程式は弾性散乱の過程における入射波と出射波を関連付けます。弾性散乱では、光子エネルギーまたは光の時間周波数は結晶格子による散乱時に変化しません。この方程式は物理学者マックス・フォン・ラウエ(1879–1960) にちなんで名付けられました。

ラウエ方程式は、弾性波が結晶格子によって散乱される条件として と表すことができます。ここで、 は散乱ベクトル、は入射波と出射波のベクトル（散乱による結晶への波と結晶からの波）、 は結晶逆格子ベクトルです。弾性散乱 により、 、、 の3 つのベクトルは、 式が満たされる場合、菱形を形成します。散乱がこの式を満たす場合、すべての結晶格子点は入射波を散乱方向（ に沿う方向）に向かって散乱させます。 式が満たされない場合、どの散乱方向でも、一部の格子点だけが入射波を散乱させます。 (この方程式の物理的解釈は、格子点での散乱は、散乱波と入射波がその点で同じ位相を持つように行われるという仮定に基づいています。) また、平行な結晶格子面に関連付けられた平面波の波動ベクトルは であるため、運動量保存則として見ることもできます。(平面波の波面は、これらの格子面と一致します。) ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle -\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle \hbar \mathbf {k} _{\mathrm {out} }=\hbar \mathbf {k} _{\mathrm {in} }+\hbar \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$

これらの方程式はブラッグの法則と同等です。ラウエ方程式はベクトル方程式ですが、ブラッグの法則はより解きやすい形式になっていますが、これらは同じ内容を示しています。

を結晶格子の原始並進ベクトル（以下、原始ベクトル）とします。ここで、原子は、、、を任意の整数として、で記述される格子点に配置されます。（したがって、各格子点は原始ベクトルの 整数線形結合であることを示します。）${\displaystyle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \,,\mathbf {c} }$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

を結晶格子 に向かう入射ビームまたは波の波動ベクトルとし、 を出射する回折ビームまたは波の波動ベクトルとします。すると、散乱ベクトルまたは伝達波動ベクトルと呼ばれるベクトル は、入射波動ベクトルと出射波動ベクトルの差を表します。 ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {\Delta k} }$

散乱ベクトルが満たさなければならない3 つの条件はラウエ方程式と呼ばれ、次のとおりです。 ${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} =2\pi h}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} =2\pi k}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} =2\pi l}$

ここで、数字は整数です。ミラー指数と呼ばれる整数の各選択によって、散乱ベクトルが決まります。したがって、ミラー指数の選択肢が無限にあるように、ラウエ方程式を満たす散乱ベクトルは無限にあります。許容される散乱ベクトルは、それぞれがの点を示すため、結晶格子の逆格子と呼ばれる格子を形成します。(これが、以下に示すラウエ方程式の意味です。) この条件により、単一の入射ビームが無限の方向に回折することができます。ただし、高いミラー指数に対応するビームは非常に弱く、観測できません。これらの方程式は、逆格子の基底を見つけるのに十分であり(観測される各 は、測定中の結晶の逆格子の点を示すため)、そこから結晶格子を決定できます。これが、X線結晶構造解析の原理です。 ${\displaystyle h,k,l}$${\displaystyle (h,k,l)}$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$${\displaystyle (h,k,l)}$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$${\displaystyle L^{*}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$${\displaystyle L^{*}}$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$

結晶に単一周波数（および角周波数）で入射する平面波の場合、結晶からの回折波は結晶から出射する平面波の合計と考えることができます。（実際、任意の波は平面波の合計として表すことができます。フーリエ光学を参照してください。）入射波と回折波の平面波の1つは次のように表されます。 ${\displaystyle \displaystyle f}$${\displaystyle \displaystyle \omega =2\pi f}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\mathrm {in} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {in} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }),}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\mathrm {out} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {out} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }),}$

ここで、 および は入射平面波と出射平面波の波動ベクトル、は位置ベクトル、 は時間を表すスカラー、およびは波の初期位相です。ここでは、主に関心のあるケースはベクトルである電磁場ですが、簡単にするために波をスカラーとして扱います。これらのスカラー波は、直交座標系の特定の軸 ( x、y、またはz軸)に沿ったベクトル波の成分と考えることができます。 ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle \displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \displaystyle t}$${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \varphi _{\mathrm {out} }}$

入射波と回折波は、結晶格子上の点を除いて空間を独立して伝播する。結晶格子上の点では振動子と共鳴するため、これらの波の位相は一致する必要がある。^[1]格子上の各点において、 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} })=\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }),}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }=\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {out} }+2\pi n,}$

ある整数 に対しては、点 に依存します。この式は で成立するため、ある整数 では成立します。したがって、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =0}$${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }=\varphi _{\mathrm {out} }+2\pi n'}$${\displaystyle n'}$

${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} =\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +2\pi n.}$

（どちらの表記も本質的に整数を表すので、 の 代わりにを使用します。）項を並べ替えると、${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-n')}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =(\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} })\cdot \mathbf {x} =2\pi n.}$

さて、この条件が原始ベクトルで満たされているかどうかを確認すれば十分です（これはラウエ方程式がまさに言っていることです）。なぜなら、任意の格子点において、 ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {\Delta k} \cdot (p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} )=p(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=p\,(2\pi h)+q\,(2\pi k)+r\,(2\pi l)=2\pi (ph+qk+rl)=2\pi n,}$

ここで、は整数 です。各括弧、例えば はの倍数である（つまり各ラウエ方程式）という主張は、それ以外の任意の整数 に対しては成り立たないため、正当です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle ph+qk+rl}$${\displaystyle (\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle p(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=2\pi n}$${\displaystyle p,q,r}$

これにより、ラウエ方程式が満たされている場合、入射波と出射波（回折波）は結晶格子の各点で同じ位相を持つことが保証され、入射波に続く結晶原子の振動によって、入射波と同じ位相で出射波が同時に生成されます。

、を整数として、実空間で結晶格子（ で定義）の逆格子を表す場合、逆格子の基本ベクトルと結晶格子の基本ベクトル間の既知の直交性により、整数 で となることがわかります。（逆格子ベクトルには、 の係数を与える、結晶学者の定義ではなく物理的な定義を使用します。）ただし、これはラウエ方程式にほかならないことに注意してください。したがって、 を識別し、 は許容される散乱ベクトルが回折における結晶の逆格子ベクトルに等しいことを意味し、これがラウエ方程式の意味です。この事実は、ラウエ条件と呼ばれることもあります。この意味で、回折パターンは結晶格子の逆格子を実験的に測定する方法です。${\displaystyle \mathbf {G} =h\mathbf {A} +k\mathbf {B} +l\mathbf {C} }$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {G} \cdot (p\mathbf {a} +q\mathbf {b} +r\mathbf {c} )=2\pi (hp+kq+lr)=2\pi n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \mathbf {G} }$

ラウエ条件は次のように書き直すことができる。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} &=\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {G} |^{2}\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}-2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} +|\mathbf {G} |^{2}.\end{aligned}}}$

弾性散乱条件を適用する（言い換えると、入射波と回折波は同じ（時間的）周波数になります。光子あたりのエネルギーは変化しないとも言えます。） ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$

上記の式から、

${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2},}$

${\displaystyle 2{{\mathbf {k} }_{\text{in}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}.}$

2 番目の方程式は、 を使用して 1 番目の方程式から得られます。 ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$

結果(また) は平面(この式を満たすことによって示されるすべての点の集合として)の方程式であり、それと同等の方程式は幾何学における平面方程式です。 より理解しやすいかもしれない別の同等の方程式は(また) です。 これは、逆格子原点とを結ぶ直線に垂直で、直線の中央に位置する平面を示します。このような平面はブラッグ平面と呼ばれます。^[3]この平面は、散乱が発生するためであると理解できます。 （これはラウエ条件であり、ラウエ方程式と同等です。）また、弾性散乱が仮定されているため、、 、 は菱形を形成します。 それぞれは、定義により、周期性が結晶格子 (たとえば、結晶の電子密度を表す関数) に従う空間関数のフーリエ級数における平面波の波動ベクトルであり、フーリエ級数の各平面波の波面は平面波の波動ベクトル に垂直であり、これらの波面は平行な結晶格子面と一致します。これは、X 線が、格子面に対する結晶へのアプローチ角度と同じ角度で垂直な平行結晶格子面から「反射」されるように見えることを意味します。弾性光(通常は X 線) -結晶散乱では、結晶格子の逆格子ベクトルに垂直な平行結晶格子面は光の平行ミラーとして機能し、入射波 (結晶へ) および出射波 (散乱によって結晶から) の波数ベクトルとともに菱形を形成します。${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}}$${\displaystyle 2{{\mathbf {k} }_{\text{in}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot (2{{\mathbf {k} }_{\text{out}}}-\mathbf {G} )=0}$${\displaystyle {{\mathbf {k} }_{\text{out}}}\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {G} \right|}$${\displaystyle (-{{\mathbf {k} }_{\text{in}}})\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {G} \right|}$${\displaystyle \mathbf {G} =0}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle -\mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$

と の間の角度は なので、（鏡のような散乱のため、と の間の角度も です。）。は光（通常は X 線）の波長、 は隣接する平行結晶格子面間の距離、 は整数であることを思い出してください。これらを使用して、ラウエ方程式（ラウエ条件とも呼ばれる）と同等の ブラッグの法則を導きます。${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \pi /2-\theta }$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \pi /2-\theta }$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta }$${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|=2\pi /\lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle |\mathbf {G} |={\frac {2\pi }{d}}n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}\\2|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta =|\mathbf {G} |^{2}\\2(2\pi /\lambda )(2\pi n/d)\sin \theta =(2\pi n/d)^{2}\\2d\sin \theta =n\lambda .\end{aligned}}}$

• Kittel, C. (1976).固体物理学入門、ニューヨーク：John Wiley & Sons. ISBN  0-471-49024-5

注記