ブラッグプレーン

物理学において、ブラッグ平面は逆格子空間において逆格子ベクトルを直角に二等分する平面である。 ^{[1]ブラッグ平面は、} X線回折結晶学における回折ピークのフォン・ラウエ条件の一部として定義される。 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$

隣の図を考慮すると、到着するX線 平面波は次のように定義されます。

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}}$

入射波ベクトルは 次のように与えられます。${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}}$

ここで、 は入射光子の波長です。ブラッグの定式化では、入射 X 線の直接格子面と鏡面反射が一意に選択されると想定されていますが、フォン ラウエの定式化では、単色光のみを想定しており、各散乱中心はホイヘンスの原理で説明されているように二次ウェーブレットのソースとして機能します。各散乱波は、次式で示される新しい平面波に寄与します。 ${\displaystyle \scriptstyle \lambda}$

${\displaystyle \mathbf {k^{\prime }} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}^{\prime }}$

方向の建設的干渉の条件は、光子間の経路差が波長の整数倍 (m) であることです。建設的干渉の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}^{\prime}}$

${\displaystyle |\mathbf {d} |\cos {\theta }+|\mathbf {d} |\cos {\theta ^{\prime }}=\mathbf {d} \cdot \left({\hat { n}}-{\hat {n}}^{\prime }\right)=m\lambda }$

ここで、上記を で乗算すると、条件を波数ベクトルで定式化でき、次のようになります。 ${\displaystyle \scriptstyle m~\in ~\mathbb {Z} }$${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2\pi}{\lambda}}}$${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime}} }$

${\displaystyle \mathbf {d} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

ここで、結晶が散乱中心の配列であり、各散乱中心がブラヴェ格子 の点にあるとします。散乱中心の 1 つを配列の原点として設定できます。格子点はブラヴェ格子ベクトル によって変位するため、ブラヴェ格子ベクトルであるのすべての値に対して上記の条件が同時に成立する場合、散乱波は建設的に干渉します。条件は次のようになります。 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {R} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

これと同等のステートメント（逆格子の数学的記述を参照）は次のようになります。

${\displaystyle e^{i\left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)\cdot \mathbf {R} }=1}$

この式を逆格子ベクトルの定義と比較すると、逆格子のベクトルが である場合に建設的干渉が発生することがわかります。と は同じ大きさであることに気付くので、フォン ラウエの定式化を言い換えると、入射波ベクトル の先端が逆格子ベクトル の垂直二等分線である平面にある必要があると規定できます。この逆空間平面はブラッグ平面です。 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} ~=~\mathbf {k} \,-\,\mathbf {k^{\prime}} }$${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime}} }$${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$

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