ブラッグの法則

科学の多くの分野において、ブラッグの法則、ウルフ・ブラッグの条件、あるいはラウエ・ブラッグ干渉はラウエ回折の特殊なケースであり、大きな結晶格子からの波のコヒーレント散乱の角度を与える。これは、格子面によって散乱された波面の重ね合わせが、波長と散乱角の間に厳密な関係をもたらす仕組みを説明する。この法則は当初、X線を対象に定式化されたが、多数の原子がある場合の中性子波や電子波を含むすべての種類の物質波、および人工の周期的なマイクロスケール格子を持つ可視光にも適用される。

ブラッグ回折（ブラッグ回折法とも呼ばれる）は、結晶性固体が反射X線の驚くべきパターンを生成する（例えば液体で生成されるパターンとは対照的）ことを発見した後、1913年にローレンス・ブラッグとその父ウィリアム・ヘンリー・ブラッグによって初めて提唱されました^[1]。彼らは、これらの結晶が特定の波長と入射角で、反射放射の強いピークを生成することを発見しました。

ローレンス・ブラッグは、結晶を定数dで分離された離散的な平行平面の集合としてモデル化することでこの結果を説明した。彼は、さまざまな平面からの反射が建設的に干渉する場合、入射 X 線放射がブラッグピークを生成すると提案した。干渉が建設的になるのは、異なる原子平面から反射された波の位相差が2 πの倍数である場合です。この条件 (以下のブラッグ条件のセクションを参照) は、1912 年 11 月 11 日にローレンス・ブラッグによってケンブリッジ哲学協会で初めて発表されました。^[2]単純ではありますが、ブラッグの法則は原子スケールでの実際の粒子の存在を確認し、結晶を研究するための強力な新しいツールを提供しました。ローレンス・ブラッグと父親のウィリアム・ ヘンリー・ブラッグは、NaCl、ZnS、ダイヤモンドに始まる結晶構造の決定に関する研究により、1915 年にノーベル物理学賞を受賞しました。^[3]

ブラッグ回折の概念は、中性子回折^[4]にも、電子回折にもほぼ同様に当てはまります。^[5]どちらの場合も、波長は原子間距離（約150 pm）に匹敵します。他の多くの種類の物質波も回折することが示されており、^{[6] [7]また、}オパールなどのより大きな秩序構造を持つ物体からの光も回折することが示されています。^[8]

ブラッグ回折は、原子間隔に相当する波長 λの放射線が結晶材料内の原子面によって鏡面反射（鏡のような反射）で散乱され、建設的干渉を受けるときに発生します。 ^[10]散乱波が特定の角度で入射すると、位相が維持され、建設的に干渉します。視射角 θ（右の図を参照してください。これは、θが表面法線から測定されるスネルの法則の慣例とは異なることに注意してください）、波長λ 、および結晶の「格子定数」dは、次の関係で結びついています。 ^{[11] : 1026}ここで、は回折次数（は第 1 次、 は第 2 次、^{[10] : 221}は第 3 次^{[11] : 1028} ）です。この式、ブラッグの法則は、建設的干渉のためのθの条件を説明しています。 ^[12]$${\displaystyle n\lambda =2d\sin\theta }$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$

散乱波の強度を角度の関数として表したマップは回折パターンと呼ばれます。散乱角がブラッグ条件を満たす場合、回折パターンにブラッグピークと呼ばれる強い強度が得られます。これはより一般的なラウエ方程式の特殊なケースであり、ラウエ方程式は追加の仮定を加えることでブラッグ条件に簡約できることが示されています。^[13]

平面波（任意のタイプ）が、図に示すような角度で、間隔 で格子点の平面に入射するとします。点Aと点 C は同じ平面上にあり、点 Bはその下の平面上にあります。点ABCC' は四辺形を形成します。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \theta}$

AC'に沿って反射する光線と、 ABに沿って透過し、BCに沿って反射する光線の間には経路差がある。この経路差は $${\displaystyle (AB+BC)-\left(AC'\right)\,.}$$

2つの別々の波は、同じ位相で（これらの格子面から無限に離れた）点に到達し、したがって、この経路差が波長の任意の整数値に等しい場合にのみ、建設的干渉を受ける。つまり 、$${\displaystyle n\lambda =(AB+BC)-\left(AC'\right)}$$

ここで、およびはそれぞれ整数と入射波の波長です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda}$

したがって、幾何学から $${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}{\text{ および }}AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,,}$$

そこから $${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta \,.}$$

すべてをまとめると、 $${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$$

これを簡略化すると、上に示したブラッグの法則 になります。${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \,,}$

図に示すように、2つの原子面のみが回折している場合、建設的干渉から破壊的干渉への移行は角度の関数として緩やかになり、ブラッグ角で緩やかな最大値になります。ただし、ほとんどの実際の材料では多くの原子面が関与しているため、鋭いピークが典型的です。^{[5] [13]}

より一般的なラウエ方程式からの厳密な導出が可能です ( 「ラウエ方程式」のページを参照)。

ブラッグの条件は非常に大きな結晶に対しては正しい。X線や中性子の散乱は比較的弱いため、多くの場合、100 nm以上の大きさのかなり大きな結晶が使用される。結晶欠陥による追加の効果がある可能性はあるが、これらは非常に小さいことが多い。対照的に、電子はX線よりも数千倍強く固体と相互作用し、^[5]エネルギーも失う（非弾性散乱）。^{[14]そのため、}透過型電子回折で使用されるサンプルははるかに薄くなる。図などの典型的な回折パターンは、結晶を離れる電子のさまざまな方向（平面波）のスポットを示している。ブラッグの法則が予測する角度はほぼ正しいが、一般に、電子ビームの方向に対して直角な逆格子の投影に近いスポットの格子が存在する。 （対照的に、ブラッグの法則は、数十から数百の電子が同時に存在するのではなく、1つまたは2つだけが存在すると予測しています。）電子エネルギーが通常30〜1000電子ボルトである低エネルギー電子回折では、表面から反射された電子と同様の結果が得られます。^[15]また、反射高エネルギー電子回折も同様で、通常は回折斑のリングにつながります。^[16]

X線の場合、結晶が小さいことの影響はシェラー方程式で説明されます。^{[13] [17] [18]}これによりブラッグピークが広がり、結晶の大きさを推定することができます。

コロイド結晶は、長い範囲（数ミリメートルから1センチメートルの長さ）にわたって形成される高度に整列した粒子の配列であり、コロイド結晶は、その原子または分子の対応するものとほぼ同様の外観および特性を有する。 ^[8]反発クーロン相互作用により、水性環境中の電荷を帯びた高分子は、粒子間の分離距離が個々の粒子の直径よりもかなり大きい場合、長距離結晶のような相関関係を示すことが長年知られている。球状粒子の周期的配列は、粒子間の空間である隙間を生じさせ、隙間の間隔が入射光波と同じ桁である場合、これは可視光波の自然な回折格子として機能する。^{[19] [20] [21]}これらの場合、鮮やかな虹彩（または遊色効果）は、ブラッグの法則に従って可視光波の回折と建設的干渉に起因し、結晶固体におけるX線の散乱に類似している。この効果は可視波長で発生する。これは、面間隔dが真の結晶よりもはるかに大きいためである。貴石オパールは、光学効果のあるコロイド結晶の一例である。

体積ブラッグ格子（VBG）または体積ホログラフィック格子（VHG）は、屈折率が周期的に変化する体積で構成されています。屈折率変調の方向に応じて、VBGは狭い波長帯域を透過または反射するために使用できます。^[22]ブラッグの法則（体積ホログラムに適応）は、どの波長が回折されるかを決定します。^[23]

$${\displaystyle 2\Lambda \sin(\theta +\varphi )=m\lambda _{B}\,,}$$

ここで、mはブラッグ次数（正の整数）、λ _{B は}回折波長、Λ は格子の縞間隔、θ は入射ビームと入射面の法線（N ）の間の角度、 φ は法線と格子ベクトル（K _G）の間の角度です。ブラッグの法則に一致しない放射は、回折せずにVBGを通過します。出力波長は、入射角（θ）を変更することで数百ナノメートルにわたって調整できます。VBGは、広範囲に調整可能なレーザー光源を生成したり、グローバルハイパースペクトルイメージングを実行したりするために使用されています（ Photonなどを参照）。^[23]

角度の測定は結晶構造を決定するために使用できます。詳細については、X線結晶構造解析を参照してください。 ^{[5] [13]}簡単な例として、上記のブラッグの法則を使用して、次の関係を通じて 特定の立方晶系の格子間隔を取得できます。

$${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}\,,}$$

ここで、は立方晶の格子間隔、h、k、ℓ はブラッグ面の ミラー指数です。この関係をブラッグの法則と組み合わせると、次の式が得られます。${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}{\frac {1}{h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}$$

さまざまな立方ブラヴェ格子のミラー指数の選択規則やその他の多くの規則を導出できます。選択規則のいくつかを下の表に示します。

これらの選択規則は、特定の結晶構造を持つ任意の結晶に使用できます。KCl は面心立方ブラベー格子を持ちます。ただし、K ⁺イオンと Cl ⁻イオンは電子の数が同じでサイズが非常に近いため、回折パターンは格子定数が半分の単純な立方構造の場合と基本的に同じになります。他の構造の選択規則は、他の場所で参照するか、導き出すことができます。他の結晶系の格子間隔については、こちらを参照してください。

• ブラッグプレーン
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• 回折
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• 回折の力学理論
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• ヘンダーソン限界
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• 粉末回折
• レーダーエンジェル
• 構造因子
• X線結晶構造解析

• Neil W. Ashcroft および N. David Mermin 著『固体物理学』（Harcourt: Orlando、1976 年）。
• Bragg W (1913) 「結晶による短電磁波の回折」ケンブリッジ哲学協会紀要17 : 43–57。

• ノーベル物理学賞 – 1915年
• https://web.archive.org/web/20110608141639/http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf
• 結晶学を学ぶ