少年の表面

幾何学において、ボーイの曲面は、実射影平面を三次元空間に浸漬したものである。これは、ドイツの数学者ヴェルナー・ボーイによって1901年に発見された。ボーイは、博士論文の指導教官であるダヴィド・ヒルベルトから、射影平面を三次元空間に浸漬することはできないことを証明するよう課題を与えられた。

ボーイズ曲面は、 1978年にバーナード・モランによって初めて明示的にパラメータ化されました。 ^{[1]別のパラメータ化はロブ・クスナーと}ロバート・ブライアントによって発見されました。^[2]ボーイズ曲面は、三重点を1つだけ持つ実射影平面の2つの可能な浸漬のうちの1つです。^[3]

ローマン曲面やクロスキャップとは異なり、自己交差以外の特異点はありません（つまり、ピンチポイントはありません）。

ボーイの曲面はいくつかの方法でパラメータ化できる。ロブ・クスナーとロバート・ブライアント^[4]によって発見されたパラメータ化の1つは次の通りである。大きさが1以下の複素数w（ ）が与えられたとき、 ${\displaystyle \|w\|\leq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\operatorname {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}$

そして設定する

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}}$

次に、 ボーイズ面上の点の 直交座標 x、y、z を取得します。

このパラメータ化を三重点を中心に反転すると、3 つの端を持つ完全な極小面が得られます (このパラメータ化はこのように自然に発見されました)。これは、ボーイの曲面のブライアント - クスナー パラメータ化が、射影平面を3 次元空間に「最も曲がっていない」浸漬という意味で「最適」であることを意味します。

ウィキブック「数学の有名な定理」には、 Boy's Surfaceに関するページがあります。

w をその複素共役の負の逆数に置き換えた場合、wの関数g ₁、g ₂、およびg _{3 は}変更されません。 ${\textstyle -{1 \over w^{\star }},}$

w をその実部と虚部w = s + itで置き換え、結果として得られるパラメータ化を展開すると、 sとtの有理関数によるボーイの曲面のパラメータ化が得られます。これは、ボーイの曲面が代数曲面であるだけでなく、有理曲面でもあることを示しています。前の段落のコメントは、このパラメータ化の一般的なファイバーが2つの点で構成されることを示しています（つまり、ボーイの曲面のほぼすべての点は、2つのパラメータ値によって取得できます）。

をボーイ曲面のブライアント・クスナーパラメータ化とする。 すると${\displaystyle P(w)=(x(w),y(w),z(w))}$

${\displaystyle P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).}$

これは、パラメータ の条件を説明しています。 の場合、 となります。ただし、 の場合、状況は若干複雑です。 この場合、 となります。これは、ボーイズ曲面の点が 2 つのパラメータ値から取得される場合、 が成り立つことを意味します。言い換えると、ボーイズ曲面は、円板の周囲にある正反対の点のペアが同等になるように円板によってパラメータ化されています。 これは、ボーイズ曲面が、滑らかな写像による実射影平面RP ²の像であることを示しています。 つまり、ボーイズ曲面のパラメータ化は、実射影平面をユークリッド空間に浸すことです。 ${\displaystyle \left\|w\right\|\leq 1}$${\displaystyle \left\|w\right\|<1,}$${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$${\displaystyle \left\|w\right\|=1.}$${\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}$${\displaystyle \left\|w\right\|=1,}$${\displaystyle P(w)=P(-w).}$

ボーイズ曲面は 3 回対称です。つまり、個別の回転対称軸を持ち、この軸を中心に 120 度回転しても、曲面はまったく同じに見えます。ボーイズ曲面は、互いに合同な3 つの部分に分割できます。

ボーイの曲面は、球の反転において、中間モデルとして使用できます。中間モデルは、回転によって内側と外側が入れ替わるという特性を持つ球の浸漬であり、球を反転 (裏返し) するために使用できます。ボーイの曲面 (p = 3 の場合) とモーリンの曲面 (p = 2 の場合) は、ジョージ フランシスによって最初に提案された、偶数 2p でインデックス付けされた、より高い対称性を持つ中間モデルのシーケンスの始まりです (p が奇数の場合、これらの浸漬は射影平面で因数分解できます)。クズナーのパラメータ化により、これらすべてが得られます。

オーバーヴォルフアッハ数学研究所の入り口の外には、1991 年 1 月にメルセデス ベンツが製作し寄贈したボーイズ面の大型模型があります。この模型は 3 回回転対称で、面のウィルモア エネルギーを最小化します。この模型は、ロバート ブライアントとロブ クスナーによって与えられたパラメータ化に基づく極座標グリッドのイメージを表す鋼帯で構成されています。子午線 (光線) は通常のメビウスの帯、つまり 180 度ねじれたものになります。緯度の円 (原点の周りの放射状の円) に対応する帯は 1 つを除いてねじれていませんが、単位円の境界に対応する帯は、研究所の紋章と同様に 180 度を 3 回ねじったメビウスの帯です (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011)。

ガラス職人のルーカス・クラークがアダム・サヴェッジの協力を得てガラスで模型を作り、クリフォード・ストールに披露した。この模型はアダム・サヴェッジのYouTubeチャンネル「Tested」で紹介された。この動画には3人全員が出演し、この模型について議論した。^[5]

ウィキメディア・コモンズには、Boy's Surface に関連するメディアがあります。

• MathCurve の Boy's Surface。さまざまな視覚化、さまざまな方程式、便利なリンクや参照が含まれています。
• 少年の表面の平面展開 - Plus Magazineからのアプレット。
• ボーイの表面リソース (元の記事を含む) と、オーバーヴォルフアッハのボーイの表面への位相学者の埋め込み。
• レゴボーイの表面
• ボーイズサーフェスの紙モデル – パターンと説明
• 構成的立体幾何学におけるボーイズ面のモデルと組み立て説明書
• セルビア芸術科学アカデミー数学研究所の少年の表面可視化ビデオ
• この物体は作れないはずだった アダム・サヴェッジが表面のガラス模型用の博物館スタンドを製作中