ブラシュケ合計

凸幾何学および凸多面体の幾何学において、2つの多面体のブラシュケ和とは、与えられた2つの多面体のそれぞれの面と平行な面を持ち、同じ測度を持つ多面体のことである。両方の多面体が平行な面を持つ場合、ブラシュケ和における対応する面の測度は、与えられた2つの多面体の測度の和である。^[1]

ブラシュケ和は存在し、平行移動を除いて一意であり、これは多面体に対するミンコフスキー問題の理論を使って証明できる。ブラシュケ和は任意の多面体を単体に分解したり、中心対称多面体を平行六面体に分解したりするために使用できる。^[1]

ヘルマン・ミンコフスキーの研究では多面体のブラシュケ和が暗黙的に使用されているが、ブラシュケ和は滑らかな凸集合に対する対応する演算を定義したヴィルヘルム・ブラシュケにちなんで名付けられている。ブラシュケ和演算は任意の凸体に拡張することができ、ガウス写像上の測度を使用して、多面体と滑らかなケースの両方を一般化することができる。^[2]

任意の 次元多面体について、その面の方向と測度の集合を、面ごとに 1 つずつ、面から垂直に外側を向き、その面の 次元測度に等しい長さを持つ次元非ゼロベクトルの有限集合によって指定することができます。ヘルマン・ミンコフスキーが証明したように、非ゼロベクトルの有限集合がこのように多面体を記述できるのは、それが 次元空間全体に広がり、2 つのベクトルが同じ符号で共線的に存在せず、集合の合計がゼロベクトルである場合のみです。この集合によって記述される多面体は、同じベクトル集合によって記述される任意の 2 つの多面体が互いの平行移動であるという意味で、一意の形状を持ちます。 ^[1]${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (d-1)}$${\displaystyle d}$

2 つの多面体と のBlaschke 和は、面の方向と大きさを表すベクトルを結合することによって定義されます。その方法は明白です。2 つのベクトル セットの和を形成します。ただし、両方のセットに平行で同じ符号のベクトルが含まれている場合は、平行ベクトルの各ペアをその和で置き換えます。この操作により、結果として得られるベクトル セットによって記述される多面体の存在に関するミンコフスキーの定理に必要な条件が保持され、この多面体が Blaschke 和になります。2 つの多面体は、両方を含むのに十分な高次元の共通空間で定義されている限り、同じ次元である必要はありません。高次元空間の低次元多面体は、高次元空間の低次元部分空間にまたがるベクトル セットによって同じように定義され、これらのベクトル セットは、それらがまたがる空間の次元に関係なく結合できます。^[1]${\displaystyle X\#Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ユークリッド平面上の凸多角形と線分の場合、それらのブラシュケ和はミンコフスキー和と一致する。^[3]

ブラシュケ和は多面体を単純な多面体に分解するために使用できます。特に、面を持つすべての 次元凸多面体は、最大で個の単体（必ずしも同じ次元である必要はありません）のブラシュケ和として表すことができます。すべての次元中心対称凸多面体は、平行六面体のブラシュケ和として表すことができます。また、すべての次元凸多面体は、最大で 個の面を持つ 次元凸多面体のブラシュケ和として表すことができます。^[1]${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle nd}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 2d}$

ブラシュケ和は、有限のベクトル集合を使用する代わりに集合のガウス写像上の測度を使用して各方向の表面積を表し、集合をそれらの測度を追加することで、多面体から任意の有界凸集合に拡張できます。 ^{[2] [4]}このように一定の明るさの2つの物体を組み合わせると、結果は別の一定の明るさの物体になります。^[5]

2次元多面体または凸体のブラシュケ和の体積は、凸体のミンコフスキー和の体積に関するブルン・ミンコフスキー定理の類似物であるクネーザー・ズースの不等式に従う。 ^[4]${\displaystyle V(X\#Y)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle V(X\#Y)^{(d-1)/d}\geq V(X)^{(d-1)/d}+V(Y)^{(d-1)/d}.}$