ベータ二項分布

確率質量関数
累積分布関数
表記	${\displaystyle \mathrm {BetaBin} (n,\alpha ,\beta )}$
パラメータ	n ∈ N 0 — 試行回数(実数) (実数) ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$
サポート	x ∈ { 0, …, n  }
ＰＭＦ	${\displaystyle {\binom {n}{x}}{\frac {\mathrm {B} (x+\alpha ,n-x+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\ ！}$ ベータ関数はどこにありますか${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\begin{cases}0,&x<0\\{\binom {n}{x}}{\tfrac {\mathrm {B} (x+\alpha ,n-x+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{}_{3}\!F_{2}({\boldsymbol {a}};{\boldsymbol {b}};x),&0\leq x<n\\1,&x\geq n\end{cases}}}$ ここで3 F 2 ( a ; b ;x)は一般化超幾何関数である。 ${\displaystyle {}_{3}\!F_{2}(1,-x,n\!-\!x\!+\!\beta;n\!-\!x\!+\!1,1\!-\!x\!-\!\alpha;1)\!}$
平均	${\displaystyle {\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$
分散	${\displaystyle {\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}$
歪度	${\displaystyle {\tfrac {(\alpha +\beta +2n)(\beta -\alpha )}{(\alpha +\beta +2)}}{\sqrt {\tfrac {1+\alpha +\beta }{n\alpha \beta (n+\alpha +\beta )}}}\!}$
過剰尖度	テキストを参照
MGF の	${\displaystyle _{2}F_{1}(-n,\alpha ;\alpha +\beta ;1-e^{t})\!}$超幾何関数はどこに あるか${\displaystyle _{2}F_{1}}$
CF	${\displaystyle _{2}F_{1}(-n,\alpha ;\alpha +\beta ;1-e^{it})\!}$
PGF	${\displaystyle _{2}F_{1}(-n,\alpha ;\alpha +\beta ;1-z)\!}$

確率論と統計学において、ベータ二項分布は、非負の整数の有限台上の離散確率分布の族であり、一定数または既知数のベルヌーイ試行の成功確率が未知またはランダムである場合に発生します。ベータ二項分布は、n回の試行の成功確率が固定ではなく、ベータ分布からランダムに抽出される二項分布です。これは、ベイズ統計、経験ベイズ法、および古典統計で、二項型分布データの過剰分散を捕捉するために頻繁に使用されます。

ベータ二項分布は、ディリクレ多項分布の 1 次元バージョンです。二項分布とベータ分布は、それぞれ多項分布とディリクレ分布の 1 変量バージョンです。αとβが整数である特殊なケースは、負の超幾何分布とも呼ばれます。

ベータ分布は二項分布の共役分布です。この事実は、二項分布のパラメータがベータ分布からランダムに抽出されたと考えることができる、解析的に扱いやすい複合分布につながります。将来の試行で表が出る回数を予測することに関心があるとします。これは次のように与えられます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x\mid n,\alpha ,\beta )&=\int _{0}^{1}\mathrm {Bin} (x|n,p)\mathrm {Beta} (p\mid \alpha ,\beta )\,dp\\[6pt]&={n \choose x}{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}p^{x+\alpha -1}(1-p)^{n-x+\beta -1}\,dp\\[6pt]&={n \choose x}{\frac {\mathrm {B} (x+\alpha ,n-x+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}$

ベータ関数の特性を用いると、これは次のようにも書ける。

${\displaystyle f(x\mid n,\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (x+\alpha )\Gamma (n-x+\beta )}{\Gamma (n+\alpha +\beta )\Gamma (x+1)\Gamma (n-x+1)}}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$

ベータ二項分布は、αとβが正の整数値の壷モデル（ポリア壷モデルと呼ばれる）によっても誘導できます。具体的には、 α 個の赤いボールとβ 個の黒いボールが入った壷があり、ランダムにボールが抽選されるとします。赤いボールが観測されると、赤いボールが 2 つ壷に戻されます。同様に、黒いボールが抽選されると、黒いボールが 2 つ壷に戻されます。これをn回繰り返すと、赤いボールがx 個観測される確率は、パラメータがn、α、  βであるベータ二項分布に従います。

対照的に、ランダム抽出が単純な置換（観察されたボール以外のボールが壷に追加されない）で行われる場合、分布は二項分布に従い、ランダム抽出が置換なしで行われる場合、分布は超幾何分布に従います。

最初の3つの生々しい瞬間は

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\\[8pt]\mu _{2}&={\frac {n\alpha [n(1+\alpha )+\beta ]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )}}\\[8pt]\mu _{3}&={\frac {n\alpha [n^{2}(1+\alpha )(2+\alpha )+3n(1+\alpha )\beta +\beta (\beta -\alpha )]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )(2+\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}$

そして尖度は

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {(\alpha +\beta )^{2}(1+\alpha +\beta )}{n\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)}}\left[(\alpha +\beta )(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha \beta (n-2)+6n^{2}-{\frac {3\alpha \beta n(6-n)}{\alpha +\beta }}-{\frac {18\alpha \beta n^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right].}$

ここで、示唆的に、平均値は次のように書けることに注意しよう 。${\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$

${\displaystyle \mu ={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}=np\!}$

そして分散は

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}=np(1-p){\frac {\alpha +\beta +n}{\alpha +\beta +1}}=np(1-p)[1+(n-1)\rho ]\!}$

ここで、 です。パラメータは 、「クラス内」または「クラスター内」相関として知られています。この正の相関が過剰分散を引き起こします。 のとき、ベータ変動と二項変動を区別する情報は利用できず、2 つのモデルの分散は等しくなることに注意してください。 ${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\alpha +\beta +1}}\!}$${\displaystyle \rho \;\!}$${\displaystyle n=1}$

ベータ二項分布の確率変数Xのr次の階乗モーメントは

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {n!}{(n-r)!}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}}$。

モーメント法による推定値は、ベータ二項分布の第一モーメントと第二モーメントに注目し、それらをサンプルモーメントとに等しく設定することで得られる。 ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\alpha }}&={\frac {nm_{1}-m_{2}}{n({\frac {m_{2}}{m_{1}}}-m_{1}-1)+m_{1}}}\\[5pt]{\widehat {\beta }}&={\frac {(n-m_{1})(n-{\frac {m_{2}}{m_{1}}})}{n({\frac {m_{2}}{m_{1}}}-m_{1}-1)+m_{1}}}.\end{aligned}}}$

これらの推定値は意味をなさない負の値になる場合があり、これはデータが二項分布に比べて分散されていないか、分散が不十分であることを示しています。この場合、二項分布と超幾何分布がそれぞれ代替候補となります。

閉じた形式の最尤推定は実用的ではありませんが、pdf が一般的な関数 (ガンマ関数および/またはベータ関数) で構成されている場合、直接数値最適化によって簡単に見つけることができます。経験的データからの最尤推定は、多項式ポリア分布をフィッティングするための一般的な方法を使用して計算できます。この方法については、(Minka 2003) で説明されています。RパッケージVGAM は、関数 vglm を介して最大尤度を介して、ベータ二項分布に従って分布する応答を持つglmタイプのモデルのフィッティングを容易にします。n が観測全体で固定されている必要はありません。

以下のデータは、19 世紀のザクセン州の病院記録から抽出した 6115 家族における、家族規模 13 の最初の 12 人の子供のうちの男児の数を示しています (Sokal および Rohlf、Lindsey の 59 ページ)。13 番目の子供は無視されます。これは、希望する性別に達したときに家族がランダムに停止するのを鈍らせるためです。

最初の2つのサンプルモーメントは

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=6.23\\m_{2}&=42.31\\n&=12\end{aligned}}}$

したがって、モーメント法の推定値は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\alpha }}&=34.1350\\{\widehat {\beta }}&=31.6085.\end{aligned}}}$

最大尤度推定値は数値的に求められる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\alpha }}_{\mathrm {mle} }&=34.09558\\{\widehat {\beta }}_{\mathrm {mle} }&=31.5715\end{aligned}}}$

そして最大化された対数尤度は

${\displaystyle \log {\mathcal {L}}=-12492.9}$

そこからAICを求める

${\displaystyle {\mathit {AIC}}=24989.74.}$

競合する二項モデルの AIC は AIC = 25070.34 であり、ベータ二項モデルがデータに優れた適合性を提供していることがわかります。つまり、過剰分散の証拠があります。トリヴァースとウィラードは、哺乳類の子孫 の性別傾向の異質性に対する理論的正当性を仮定しています。

特に尾部での優れたフィット感が明らかです

ベータ二項分布は、データに基づいて推定したいベルヌーイ成功確率のベイズ推定において重要な役割を果たします。を独立かつ同一に分布するベルヌーイ確率変数のサンプルとします。 に関する知識はベイズ流に不確実であり、事前分布によってモデル化されていると仮定します。を複利計算すると、の事前予測分布は 次のようになります。${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {X} =\{X_{1},X_{2},\cdots X_{n_{1}}\}}$${\displaystyle X_{i}\sim {\text{Bernoulli}}(p)}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\sim {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle Y_{1}=\sum _{i=1}^{n_{1}}X_{i}}$

${\displaystyle Y_{1}\sim {\text{BetaBin}}(n_{1},\alpha ,\beta )}$。

観察してみると、${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(p|\mathbf {X} ,\alpha ,\beta )&\propto \left(\prod _{i=1}^{n_{1}}p^{x_{i}}(1-p)^{1-x_{i}}\right)p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}\\&=Cp^{\sum x_{i}+\alpha -1}(1-p)^{n_{1}-\sum x_{i}+\beta -1}\\&=Cp^{y_{1}+\alpha -1}(1-p)^{n_{1}-y_{1}+\beta -1}\end{aligned}}}$

ここで、 は正規化定数です。事後分布は として認識されます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathrm {Beta} (y_{1}+\alpha ,n_{1}-y_{1}+\beta )}$

このように、再び複利計算により、ランダム変数 の将来のサンプルの合計の事後予測分布は次のようになることがわかります。${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle \mathrm {Bernoulli} (p)}$

${\displaystyle Y_{2}\sim \mathrm {BetaBin} (n_{2},y_{1}+\alpha ,n_{1}-y_{1}+\beta )}$。

ベータ二項ランダム変量を描画するには、を描画してから を描画するだけです。 ${\displaystyle X\sim \mathrm {BetaBin} (n,\alpha ,\beta )}$${\displaystyle p\sim \mathrm {Beta} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (n,p)}$

• ${\displaystyle \mathrm {BetaBin} (1,\alpha ,\beta )\sim \mathrm {Bernoulli} (p)\,}$どこ。${\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,}$
• ${\displaystyle \mathrm {BetaBin} (n,1,1)\sim U(0,n)\,}$ここで、 は離散一様分布です。${\displaystyle U(a,b)\,}$
• ${\displaystyle \lim _{s\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,ps,(1-p)s)\sim \mathrm {B} (n,p)\,}$ここで、およびは二項分布です。${\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,}$${\displaystyle s=\alpha +\beta \,}$${\displaystyle \mathrm {B} (n,p)\,}$
• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,\alpha ,{\frac {np}{(1-p)}})\sim \mathrm {NB} (\alpha ,p)\,}$ここで、 は負の二項分布です。${\displaystyle \mathrm {NB} (\alpha ,p)\,}$

• ディリクレ多項分布

• Minka, Thomas P. (2003)。ディリクレ分布の推定。Microsoft テクニカル レポート。

• ベータ二項分布を使用して生体認証デバイスの性能を評価する
• Fastfit には、ベータ二項分布 (2 次元ポリア分布の形式) をデータに適合させる Matlab コードが含まれています。
• インタラクティブ グラフィック: 単変量分布関係
• VGAM R パッケージのベータ二項関数
• Sandia National Labs Cognitive Foundry Java ライブラリのベータ二項分布