ベルトランの定理

古典力学において、ベルトランの定理は、束縛軌道を持つ中心力 ポテンシャルのうち、すべての束縛軌道が閉じた軌道でもあるという性質を持つ中心力（放射状）スカラーポテンシャルは2種類しかないことを述べています。^{[1] [2]}

最初のそのようなポテンシャルは、重力や静電ポテンシャルのような反比例する中心力です。

${\displaystyle V(r)=-{\frac {k}{r}}}$力強く。${\displaystyle f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {k}{r^{2}}}}$

2番目はラジアル調和振動子のポテンシャルです。

${\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}}$力強く。${\displaystyle f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-kr}$

この定理は発見者であるジョセフ・ベルトランにちなんで名付けられました。

すべての中心引力は円軌道を生成できますが、これは自然に閉じた軌道です。唯一の要件は、中心力が求心力と正確に等しいことです。求心力は、与えられた円半径に必要な角速度を決定します。非中心力（つまり、角度変数と半径に依存する力）は、一般に円軌道を生成しないため、ここでは無視されます。

中心ポテンシャル内を運動する質量粒子の半径の運動方程式は、運動方程式によって与えられる。${\displaystyle r}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}},}$

ここで、角運動量は保存されます。説明のために、円軌道の場合、左側の最初の項はゼロになり、適用される内向きの力は、予想どおり、求心力要件に等しくなります。 ${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$ ${\displaystyle L=mr^{2}\オメガ }$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$ ${\displaystyle mr^{2}\omega }$

角運動量の定義により、独立変数をからに変更することができます。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }},}$

時間に依存しない新しい運動方程式を与える：

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}.}$

この方程式は、変数を変更し、両辺に次の式を掛けると準線形になります（ビネ方程式も参照）。 ${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right).}$

上で述べたように、適切な初期速度が与えられれば、すべての中心力は円軌道を形成できます。ただし、いくらかの半径方向の速度が導入されると、これらの軌道は安定している必要はなく (つまり、永久に軌道上にとどまる)、閉じている必要もありません (まったく同じ経路に繰り返し戻る)。ここでは、安定した正確に閉じた非円軌道の必要条件は、逆二乗力または半径方向調和振動子ポテンシャルであることを示します。次のセクションでは、これら 2 つの力の法則が安定した正確に閉じた軌道(十分な条件) を生成することを示します [十分な条件が正確に何であるかは読者にとって不明です]。

定義​ ${\displaystyle J(u)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)\equiv -{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right),}$

ここで は半径方向の力を表します。半径における完全な円運動の条件は、左辺の最初の項がゼロになることです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle r_{0}}$

どこ。 ${\displaystyle u_{0}\equiv 1/r_{0}}$

次のステップは、完全な円軌道からの小さな摂動の下での方程式を考えることです。右側では、関数は標準的なテイラー級数で展開できます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \eta \equiv u-u_{0}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(u)\approx J(u_{0})+\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots }$

この展開を式に代入し、定数項を引くと次の式が得られます。 ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$

これは次のように書ける。

ここで は定数です。 は非負でなければなりません。そうでない場合、軌道の半径は初期半径から指数関数的に変化します。（解は完全な円軌道に対応します。）右辺が無視できる場合（つまり、小さな摂動の場合）、解は次のようになります。 ${\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J'(u_{0})}$${\displaystyle \beta ^{2}}$${\displaystyle \beta =0}$

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta ),}$

ここで振幅は積分定数である。軌道が閉じているためには、は有理数でなければならない。さらに、は連続的に変化できないため、すべての半径に対して同じ有理数でなければならない。有理数は互いに完全に切り離されている。の定義を式( 1 ) と共に使用すると、${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle J}$

${\displaystyle J'(u_{0})={\frac {2}{u_{0}}}\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]-\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]{\frac {1}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)=-2+{\frac {u_{0}}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)=1-\beta ^{2}.}$

これは の任意の値に対して成り立つため、 ${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df}{dr}}=(\beta ^{2}-3){\frac {f}{r}},}$

これは力がべき乗則に従わなければならないことを意味する

${\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}.}$

したがって、一般的な形式は次のようになる。 ${\displaystyle J}$

より一般的な円形からの逸脱（すなわち、テイラー展開の高次項を無視できない場合）については、フーリエ級数展開することができる。例えば、 ${\displaystyle J}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos \beta \theta +h_{2}\cos 2\beta \theta +h_{3}\cos 3\beta \theta +\cdots }$

これを式( 2 )に代入し、最低次の項のみを残して、同じ周波数に属する係数を等しくします。以下に示すように、およびはより小さく、次数はです。、およびそれ以降のすべての係数は、少なくとも 次数です。これは理にかなっています。なぜなら、円軌道に近づくにつれて は すべて より速く消える必要があるからです。${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{1}^{2}}$${\displaystyle h_{3}}$${\displaystyle h_{1}^{3}}$${\displaystyle h_{0},h_{2},h_{3},\ldots }$${\displaystyle h_{1}}$

${\displaystyle h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{4\beta ^{2}}},}$

${\displaystyle h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{12\beta ^{2}}},}$

${\displaystyle h_{3}=-{\frac {1}{8\beta ^{2}}}\left[h_{1}h_{2}{\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{24}}\right].}$

この用語 から、${\displaystyle \cos \beta \theta }$

${\displaystyle 0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{8}}={\frac {h_{1}^{3}}{24\beta ^{2}}}\left(3\beta ^{2}J'''(u_{0})+5J''(u_{0})^{2}\right),}$

最後のステップでは、およびの値を代入しました。 ${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{2}}$

式( 3 )と式( 1 )を用いて、における2次導関数と3次導関数を計算することができる。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle J''(u_{0})=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}},}$

${\displaystyle J'''(u_{0})={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}.}$

これらの値を最後の式に代入すると、ベルトランの定理の主な結果が得られます。

${\displaystyle \beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0.}$

したがって、安定した閉じた非円形軌道を生成できる唯一のポテンシャルは、逆二乗力の法則 ( ) とラジアル調和振動子ポテンシャル ( ) です。この解は、上で述べたように、完全に円形の軌道に対応します。 ${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \beta =2}$${\displaystyle \beta =0}$

重力や静電ポテンシャルのような反比例の力の法則の場合、ポテンシャルは次のように表される。

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku.}$

軌道u (θ)は、一般的な方程式から導かれる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)={\frac {km}{L^{2}}},}$

その解は定数と単純な正弦波の和である。 ${\displaystyle {\frac {km}{L^{2}}}}$

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}[1+e\cos(\theta -\theta _{0})],}$

ここで、 e（偏心度）とθ ₀（位相オフセット）は積分定数です。

これは、原点に焦点が 1 つある円錐曲線の一般的な公式です。e = 0 は円、0 < e < 1 は楕円、e = 1 は放物線、e > 1 は双曲線に対応します。離心率e は、総エネルギーEと関連しています (ラプラス・ルンゲ・レンツ ベクトルを参照)。

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}.}$

これらの式を比較すると、E < 0 は楕円、E = 0 は放物線、E > 0 は双曲線に対応することがわかります。特に、完全な円軌道の場合です。 ${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$

ラジアル調和振動子ポテンシャルの下での軌道を解くには、成分 r = ( x , y , z )で作業する方が簡単です。ポテンシャルは次のように表すことができます。

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2}).}$

質量mの粒子の運動方程式は、 3つの独立したオイラー方程式で与えられます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0,}$

ここで、定数は、有界で閉じた軌道を保証するために正（つまり、k > 0）でなければなりません。そうでない場合、粒子は無限遠まで飛んでしまいます。これらの単純な調和振動子方程式の解はすべて類似しています。 ${\displaystyle \omega _{0}^{2}\equiv {\frac {k}{m}}}$

${\displaystyle x=A_{x}\cos(\omega _{0}t+\phi _{x}),}$

${\displaystyle y=A_{y}\cos(\omega _{0}t+\phi _{y}),}$

${\displaystyle z=A_{z}\cos(\omega _{0}t+\phi _{z}),}$

ここで、正の定数A _x、A _y、A _{z は}振動の振幅を表し、角度 φ _x、φ _y、φ _{z は}それらの位相を表します。結果として得られる軌道r ( t ) = [ x ( t )、y ( y )、z ( t )]は、1周期後に正確に繰り返すため閉じています。

${\displaystyle T\equiv {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}.}$

振幅と位相の小さな摂動がそれに応じて全体の軌道に小さな変化を引き起こすため、システムは安定しています。

• ゴールドスタイン、H. (1980)。古典力学（第2版）。アディソン・ウェスレー。ISBN 978-0-201-02918-5。
• Santos, FC; Soares, V.; Tort, AC (2011). 「ベルトランの定理の英語訳」.ラテンアメリカ物理教育ジャーナル. 5 (4): 694–696. arXiv : 0704.2396 . Bibcode :2007arXiv0704.2396S.
• Leenheer, Patrick De; Musgrove, John; Schimleck, Tyler (2023). 「ベルトランの定理の包括的証明」SIAM Review . 65 (2): 563–588. doi :10.1137/21M1436658. ISSN  0036-1445. S2CID  258585586.