影響線

工学において、影響線は、構造上の任意の点に配置された単位荷重によって引き起こされる梁またはトラスの特定の点における関数（構造部材で感じられるせん断、モーメントなど）の変化をグラフ化します。^{[1] [2] [3] [4] [5]}影響線で研究される一般的な関数には、反力（構造物を静止させるために構造物のサポートが適用しなければならない力）、せん断、モーメント、およびたわみ（変形）があります。^{[6]影響線は、}橋梁、クレーンレール、コンベアベルト、床桁、および荷重がスパンに沿って移動するその他の構造物に使用される梁やトラスを設計する際に重要です。 ^[5]影響線は、研究される関数のいずれかに対して荷重が最大の効果を生み出す場所を示します。

影響線はスカラーであり、かつ加法的である。^[5]つまり、適用される荷重が単位荷重でない場合や、複数の荷重が適用される場合でも、影響線を使用できる。構造物に対する非単位荷重の影響を調べるには、影響線によって得られた縦座標の結果に、実際に適用される荷重の大きさを掛ける。影響線全体をスケーリングすることも、線に沿って発生する最大および最小の影響のみをスケーリングすることもできる。スケーリングされた最大値と最小値は、梁またはトラスで設計する必要がある重要な大きさである。

複数の荷重が作用する可能性がある場合には、個々の荷重の影響線を加算して、特定のポイントで構造物が受ける総影響度を求めることができます。影響線を加算する場合、構造物全体の荷重間隔による適切なオフセットを含める必要があります。たとえば、トラックの荷重が構造物に適用されます。後車軸 B は前車軸 A の 3 フィート後ろにあるため、構造物に沿ったxフィートでの A の影響を、構造物に沿った ( x – 3) フィートでの B の影響に追加する必要があります。構造物に沿ったxフィートでの B の影響ではありません。

多くの荷重は集中荷重ではなく分散荷重です。影響線は集中荷重または分散荷重のどちらにも使用できます。集中荷重 (または点荷重) の場合、単位点荷重が構造に沿って移動します。指定された幅の分散荷重の場合、同じ幅の単位分散荷重が構造に沿って移動します。荷重が端部に近づき、構造から離れると、構造によって運ばれるのは総荷重の一部のみであることに注意してください。分散単位荷重の効果は、点荷重の影響線を構造の対応する長さにわたって積分することによっても得られます。

決定的構造の影響線はメカニズムとなるが、不確定構造の影響線は単に決定的となる。^[7]

影響線はベッティの定理に基づいています。そこから、2 つの外力システムとを考えます。各外力システムは変位場と関連しており、その変位場の力の作用点で測定された変位は と で表されます。 ${\displaystyle F_{i}^{P}}$${\displaystyle F_{i}^{Q}}$${\displaystyle d_{i}^{P}}$${\displaystyle d_{i}^{Q}}$

システムは、構造に適用される実際の力を表し、これらの力は平衡状態にあるとします。システムは単一の力 によって形成されるとします。この力に関連する変位場は、 が適用されている点に作用する構造的拘束を解除し、 で表される負の方向に運動学的に許容される相対単位変位を課すことによって定義されます。ベッティの定理から、次の結果が得られます。 ${\displaystyle F_{i}^{P}}$${\displaystyle F_{i}^{Q}}$${\displaystyle F^{Q}}$${\displaystyle d_{i}^{Q}}$${\displaystyle F^{Q}}$${\displaystyle d_{1}^{Q}=-1}$

${\displaystyle -F_{1}^{P}+\sum _{i=2}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=F^{Q}\times 0\iff F_{1}^{P}=\sum _{i=2}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}}$

梁やトラスを設計する際は、構造部材内で予想される最大の反作用、せん断、モーメントを引き起こすシナリオを想定して設計し、構造の寿命中に部材が破損しないようにする必要があります。固定荷重(構造自体の重量など、決して動かない荷重) を扱う場合、荷重の予測と計画が容易なため、これは比較的簡単です。活荷重(家具や人など、構造の寿命中に移動する荷重) の場合、荷重がどこにかかるか、構造の寿命中に荷重がどの程度集中または分散されるかを予測することははるかに難しくなります。

影響線は、単位荷重が梁またはトラスを横切るときの応答をグラフ化します。影響線は、設計者が活荷重を配置する場所を見つけて、反力、せん断、モーメントの各機能の最大応答を計算するのに役立ちます。設計者は、次に、最大予測荷重で影響線をスケーリングして、梁またはトラスを設計する必要がある各機能の最大応答を計算できます。影響線は、適用された単位荷重に対する他の機能 (たわみや軸力など) の応答を見つけるためにも使用できますが、影響線のこのような使用法はあまり一般的ではありません。

影響線を作成するために使用される方法は 3 つあります。 1 つ目は、構造に沿った複数のポイントの影響値を表にまとめ、それらのポイントを使用して影響線を作成する方法です。^{[5] 2 つ目は、構造に適用する影響線の方程式を決定し、影響線に沿ったすべてのポイントを}xに関して解きます。ここで、xは構造の開始点から単位荷重が適用されるポイントまでのフィート数です。^{[1] [2] [3] [4] [5]} 3 つ目の方法は、ミュラー・ブレスラウの原理と呼ばれます。これは定性的な影響線を作成します。^{[1] [2] [5]}この影響線は、単位荷重が研究対象のポイントで関数の最大応答を生成する場所について設計者に正確なアイデアを提供しますが、最初の 2 つの方法で作成された影響線とは異なり、応答の大きさを直接計算するために使用することはできません。

構造上の点 A に関する影響値を表にするには、構造上のさまざまな点に単位荷重を配置する必要があります。静力学は、点 A における関数の値 (反作用、せん断、またはモーメント) を計算するために使用されます。通常、上向きの反作用は正と見なされます。せん断とモーメントには、せん断図とモーメント図で使用されるのと同じ規則に従って、正または負の値が与えられます。

RCヒベラーは著書『構造解析』の中で、「静定梁はすべて、直線部分からなる影響線を持つ」と述べています。^[5]したがって、影響線の傾きに変化をもたらす点を認識し、その点の値のみを計算することで、計算回数を最小限に抑えることができます。変曲線の傾きは、支持部、中間スパン、ジョイントで変化する可能性があります。

反力、軸力、せん断力、曲げモーメントなどの特定の関数の影響線は、構造上の任意の点に単位荷重を適用することによって、構造上の任意の点におけるその関数の変化を示すグラフです。

関数の影響線は、せん断、軸、曲げモーメント図とは異なります。影響線は、構造上の複数のポイントに単位荷重を個別に適用し、この荷重による関数の値 (つまり、目的の位置でのせん断、軸、モーメント) を決定することによって生成できます。各関数の計算値は、荷重が適用された場所にプロットされ、接続されて関数の影響線が生成されます。

影響値が表にまとめられると、点 A における関数の影響線をxに関して描くことができます。まず、表にまとめられた値を見つける必要があります。表にまとめられた点の間の部分については、補間が必要です。したがって、点を結ぶ直線を描くことができます。これが完了すると、影響線が完成します。

構造物の全スパンにわたる影響線を定義する方程式を作成することは可能です。これは、特定の距離ではなく、構造物に沿ってxフィートに配置された単位荷重によって引き起こされるポイントAでの反応、せん断、またはモーメントを解くことによって行われます。この方法は、表形式の値の方法に似ていますが、数値解を得るのではなく、結果はxに関する方程式です。^[5]

この方法では、影響線の傾きがどこで変化するかを理解することが重要です。なぜなら、影響線の方程式は影響線の各線形セクションごとに変化するからです。したがって、完全な方程式は、影響線の各線形セクションごとに個別の影響線方程式を持つ区分線形関数です。 ^[5]

www.public.iastate.edu によると、「ミュラー・ブレスラウ原理は、実際の影響線に直接比例する定性的な影響線を描くために使用できます。」 ^[2] ミュラー・ブレスラウ原理は、梁に沿って単位荷重を移動させる代わりに、最初に研究対象の点で梁を解放し、次に研究対象の関数 (反力、せん断、またはモーメント) をその点に適用することによって生じる梁のたわみ形状を見つけます。この原理は、関数の影響線は、梁が関数によって作用されたときに梁のたわみ形状と同じスケール形状になると述べています。

関数によって梁がどのようにたわむかを理解するには、関数に抵抗する梁の能力を取り除く必要があります。以下では、単純に支持された剛性梁 (図 1 に示すような梁) の影響線を見つける方法について説明します。

• 支持部で生じる反作用を決定する際、支持部は垂直反作用に抵抗できないローラーに置き換えられる。^{[2] [5]}次に、支持部があった点に上向き（正）の反作用が加えられる。支持部が取り除かれたため、梁は上向きに回転し、梁は剛体であるため、2 番目の支持部の点と三角形を形成する。梁が 2 番目の支持部を超えて片持ち梁として伸びる場合、同様の三角形が片持ち梁の位置の下に形成される。つまり、反作用の影響線は、2 番目の支持部の位置で値がゼロの直線で傾斜した線になる。

• 梁に沿ったある点Bで生じるせん断を決定するには、梁を切断し、点Bにローラーガイド（モーメントには抵抗できるがせん断には抵抗できない）を挿入する必要があります。^{[2] [5]}次に、その点に正のせん断を適用すると、左側は下向きに回転し、右側は上向きに回転することがわかります。これにより、サポートでゼロになり、不連続の両側で傾きが等しい不連続な影響線が作成されます。点Bがサポートにある場合、点Bと他のサポート間のたわみによって三角形が作成されますが、梁が片持ちの場合は、片持ち側全体が上または下に移動し、長方形が作成されます。

• 梁に沿ったある点Bで発生するモーメントを決定する場合、点Bにヒンジを配置して、モーメントを解放しながらもせん断に抵抗します。^{[2] [5]}次に、点Bに正のモーメントがかかると、梁の両側が上向きに回転します。これにより、連続した影響線が作成されますが、点Bのヒンジの両側の傾斜は等しく反対になります。梁は単純支持されているため、端部サポート（ピン）はモーメントに抵抗できません。したがって、荷重がどこに配置されていても、静的な状況ではサポートがモーメントを経験することはないことがわかります。

ミュラー・ブレスラウ原理は、定性的な影響線しか生成できません。^{[2] [5]}つまり、エンジニアは、関数の最大値を発生させるためにどこに荷重をかけるかを決定するためにこの原理を使用できますが、その最大値の大きさは影響線から計算できません。代わりに、エンジニアは静力学を使用して、その荷重ケースで関数の値を解く必要があります。

最も単純な荷重ケースは単一の点荷重ですが、影響線は複数の荷重や分散荷重による応答を判断するためにも使用できます。複数の荷重が一定の距離を置いて発生することがわかっている場合もあります。たとえば、橋の上で車やトラックの車輪は、比較的標準的な距離で作用する点荷重を作成します。

影響線を使用してこれらすべての点荷重に対する関数の応答を計算するには、影響線で見つかった結果を各荷重に対してスケーリングし、スケーリングされた大きさを合計して、構造が耐えなければならない総応答を見つけることができます。^[5]点荷重自体は異なる大きさを持つことができますが、それらが構造物に同じ力を適用する場合でも、構造物に沿った異なる距離で作用するため、個別にスケーリングする必要があります。 たとえば、車の車輪が10フィート離れている場合、最初のセットが橋の13フィート上にあるとき、2番目のセットは橋の3フィート上にしかありません。最初の車輪のセットが橋の7フィート上にある場合、2番目のセットはまだ橋に到達していないため、最初のセットだけが橋に荷重をかけています。

また、2 つの荷物のうち、どちらかの荷物の方が重い場合は、両方の積載順序（大きい方の荷物を右側に、大きい方の荷物を左側に）で荷物を調べて、最大荷物が見つかるようにする必要があります。荷物が 3 つ以上ある場合は、調べるケースの数が増えます。

多くの荷重は点荷重として作用するのではなく、長い距離または領域にわたって分散荷重として作用します。たとえば、連続した履帯を持つトラクターは、各履帯の長さにわたって分散された荷重を適用します。

分散荷重の影響を調べるには、設計者は点荷重を使用して求めた影響線を構造物の影響を受ける距離にわたって積分することができます。^[5]たとえば、長さ 3 フィートのトラックが梁に沿って 5 フィートから 8 フィートの間で作用する場合、その梁の影響線は 5 フィートから 8 フィートの間で積分する必要があります。影響線の積分により、分散荷重が単位の大きさであった場合に感じられる効果が得られます。したがって、設計者は積分後も結果をスケーリングして分散荷重の実際の影響を取得する必要があります。

静的に決定された構造の影響線は直線セグメントで構成されますが、不定構造の場合は同じではありません。不定構造は剛体とは見なされないため、不定構造に描かれた影響線は直線ではなく曲線になります。上記の方法は、構造の影響線を決定するために使用できますが、梁自体の特性を考慮する必要があるため、作業ははるかに複雑になります。

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